题目
已知在 10 只晶体管中有 2 只次品，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样。求下列事件的概率。 (1)两只都是正品； (2)两只都是次品； (3)一只是正品，一只是次品； (4)第二次取出的是次品。
已知在
(1)两只都是正品；
(2)两只都是次品；
(3)一只是正品，一只是次品；
(4)第二次取出的是次品。
题目解答
答案
设以
解析
步骤 1：定义事件
设以 Ai(i=1,2) 表示事件“第 i 次取出的是正品”，以 A˙¯¯¯¯i(i=1,2) 表示事件“第 i 次取出的是次品”。因为不放回抽样，故每次抽取的概率会受到前一次抽取结果的影响。
步骤 2：计算两只都是正品的概率
两只都是正品的概率为 P(A1A2)，即第一次和第二次都取出正品的概率。根据条件概率公式，P(A1A2) = P(A1)P(A2|A1)。其中，P(A1) 是第一次取出正品的概率，P(A2|A1) 是在第一次取出正品的条件下，第二次取出正品的概率。因此，P(A1A2) = 8/10 × 7/9 = 28/45。
步骤 3：计算两只都是次品的概率
两只都是次品的概率为 P(A1˙¯¯¯¯¯A2˙¯¯¯¯¯)，即第一次和第二次都取出次品的概率。根据条件概率公式，P(A1˙¯¯¯¯¯A2˙¯¯¯¯¯) = P(A1˙¯¯¯¯¯)P(A2˙¯¯¯¯¯|A1˙¯¯¯¯¯)。其中，P(A1˙¯¯¯¯¯) 是第一次取出次品的概率，P(A2˙¯¯¯¯¯|A1˙¯¯¯¯¯) 是在第一次取出次品的条件下，第二次取出次品的概率。因此，P(A1˙¯¯¯¯¯A2˙¯¯¯¯¯) = 2/10 × 1/9 = 1/45。
步骤 4：计算一只是正品，一只是次品的概率
一只是正品，一只是次品的概率为 P = P(A1A2˙¯¯¯¯¯) + P(A1˙¯¯¯¯¯A2)，即第一次取出正品，第二次取出次品的概率加上第一次取出次品，第二次取出正品的概率。根据条件概率公式，P(A1A2˙¯¯¯¯¯) = P(A1)P(A2˙¯¯¯¯¯|A1)，P(A1˙¯¯¯¯¯A2) = P(A1˙¯¯¯¯¯)P(A2|A1˙¯¯¯¯¯)。因此，P = 8/10 × 2/9 + 2/10 × 8/9 = 16/45。
步骤 5：计算第二次取出的是次品的概率
第二次取出的是次品的概率为 P(A2˙¯¯¯¯¯)，即第二次取出次品的概率。根据全概率公式，P(A2˙¯¯¯¯¯) = P(A1A2˙¯¯¯¯¯) + P(A1˙¯¯¯¯¯A2˙¯¯¯¯¯)。因此，P(A2˙¯¯¯¯¯) = 8/10 × 2/9 + 1/45 = 1/5。
设以 Ai(i=1,2) 表示事件“第 i 次取出的是正品”，以 A˙¯¯¯¯i(i=1,2) 表示事件“第 i 次取出的是次品”。因为不放回抽样，故每次抽取的概率会受到前一次抽取结果的影响。
步骤 2：计算两只都是正品的概率
两只都是正品的概率为 P(A1A2)，即第一次和第二次都取出正品的概率。根据条件概率公式，P(A1A2) = P(A1)P(A2|A1)。其中，P(A1) 是第一次取出正品的概率，P(A2|A1) 是在第一次取出正品的条件下，第二次取出正品的概率。因此，P(A1A2) = 8/10 × 7/9 = 28/45。
步骤 3：计算两只都是次品的概率
两只都是次品的概率为 P(A1˙¯¯¯¯¯A2˙¯¯¯¯¯)，即第一次和第二次都取出次品的概率。根据条件概率公式，P(A1˙¯¯¯¯¯A2˙¯¯¯¯¯) = P(A1˙¯¯¯¯¯)P(A2˙¯¯¯¯¯|A1˙¯¯¯¯¯)。其中，P(A1˙¯¯¯¯¯) 是第一次取出次品的概率，P(A2˙¯¯¯¯¯|A1˙¯¯¯¯¯) 是在第一次取出次品的条件下，第二次取出次品的概率。因此，P(A1˙¯¯¯¯¯A2˙¯¯¯¯¯) = 2/10 × 1/9 = 1/45。
步骤 4：计算一只是正品，一只是次品的概率
一只是正品，一只是次品的概率为 P = P(A1A2˙¯¯¯¯¯) + P(A1˙¯¯¯¯¯A2)，即第一次取出正品，第二次取出次品的概率加上第一次取出次品，第二次取出正品的概率。根据条件概率公式，P(A1A2˙¯¯¯¯¯) = P(A1)P(A2˙¯¯¯¯¯|A1)，P(A1˙¯¯¯¯¯A2) = P(A1˙¯¯¯¯¯)P(A2|A1˙¯¯¯¯¯)。因此，P = 8/10 × 2/9 + 2/10 × 8/9 = 16/45。
步骤 5：计算第二次取出的是次品的概率
第二次取出的是次品的概率为 P(A2˙¯¯¯¯¯)，即第二次取出次品的概率。根据全概率公式，P(A2˙¯¯¯¯¯) = P(A1A2˙¯¯¯¯¯) + P(A1˙¯¯¯¯¯A2˙¯¯¯¯¯)。因此，P(A2˙¯¯¯¯¯) = 8/10 × 2/9 + 1/45 = 1/5。