题目
已知A,B,C为随机事件,且 (A)=P(B)=P(C)=dfrac (1)(4), P(AB)=0 .-|||-(AC)=P(BC)=dfrac (1)(9) ,则事件A,B,C都不发生的概率为-|||-A. dfrac (1)(2) .-|||-B. dfrac (19)(36) .-|||-C. dfrac (17)(36) .-|||-D. dfrac (1)(36)
题目解答
答案
C. $\dfrac {17}{36}$ .
解析
步骤 1：确定事件ABC同时发生的概率
由于$P(AC)=P(BC)=\dfrac {1}{9}$，根据概率的乘法公式，可以推断出$P(ABC)=0$，因为如果$P(ABC)$不为0，那么$P(AC)$和$P(BC)$的值将大于$\dfrac {1}{9}$，这与题目条件矛盾。
步骤 2：计算事件A、B、C至少有一个发生的概率
根据概率的加法公式，事件A、B、C至少有一个发生的概率为$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)$。将已知条件代入，得到$P(A\cup B\cup C)=\dfrac {1}{4}+\dfrac {1}{4}+\dfrac {1}{4}-0-\dfrac {1}{9}-\dfrac {1}{9}+0=\dfrac {3}{4}-\dfrac {2}{9}=\dfrac {27}{36}-\dfrac {8}{36}=\dfrac {19}{36}$。
步骤 3：计算事件A、B、C都不发生的概率
事件A、B、C都不发生的概率为$P(\overline {A} \overline {B} \overline {C})=1-P(A\cup B\cup C)=1-\dfrac {19}{36}=\dfrac {17}{36}$。
由于$P(AC)=P(BC)=\dfrac {1}{9}$，根据概率的乘法公式，可以推断出$P(ABC)=0$，因为如果$P(ABC)$不为0，那么$P(AC)$和$P(BC)$的值将大于$\dfrac {1}{9}$，这与题目条件矛盾。
步骤 2：计算事件A、B、C至少有一个发生的概率
根据概率的加法公式，事件A、B、C至少有一个发生的概率为$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)$。将已知条件代入，得到$P(A\cup B\cup C)=\dfrac {1}{4}+\dfrac {1}{4}+\dfrac {1}{4}-0-\dfrac {1}{9}-\dfrac {1}{9}+0=\dfrac {3}{4}-\dfrac {2}{9}=\dfrac {27}{36}-\dfrac {8}{36}=\dfrac {19}{36}$。
步骤 3：计算事件A、B、C都不发生的概率
事件A、B、C都不发生的概率为$P(\overline {A} \overline {B} \overline {C})=1-P(A\cup B\cup C)=1-\dfrac {19}{36}=\dfrac {17}{36}$。