lim ((sin x))^tan x-|||-arrow dfrac (pi )(2)

考查要点：本题主要考查极限的计算方法，特别是处理“1的∞次方”型不定式极限的技巧，以及洛必达法则的应用。

解题核心思路：

1. 取自然对数将原式转化为指数函数形式，简化计算。
2. 变量替换或洛必达法则处理变形后的极限。
3. 利用等价无穷小替换简化表达式。

破题关键点：

• 识别极限类型为“1的∞次方”，决定使用对数转换。
• 正确应用洛必达法则或变量替换，将复杂极限转化为可计算的形式。
• 注意三角函数在$x \rightarrow \frac{\pi}{2}$时的渐进行为。

步骤1：取自然对数
设原式为$L = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} (\sin x)^{\tan x}$，取自然对数得：
$\ln L = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \tan x \cdot \ln (\sin x)$

步骤2：变形表达式
将$\tan x$写成$\frac{\sin x}{\cos x}$，得：
$\ln L = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\sin x \cdot \ln (\sin x)}{\cos x}$

步骤3：应用洛必达法则
当$x \rightarrow \frac{\pi}{2}$时，分子$\sin x \cdot \ln (\sin x) \rightarrow 0$，分母$\cos x \rightarrow 0$，属于$\frac{0}{0}$型不定式。对分子和分母分别求导：

• 分子导数：$\cos x \cdot \ln (\sin x) + \frac{\cos^2 x}{\sin x}$
• 分母导数：$-\sin x$

应用洛必达法则后：
$\ln L = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x \cdot \ln (\sin x) + \frac{\cos^2 x}{\sin x}}{-\sin x}$

步骤4：代入极限值
当$x \rightarrow \frac{\pi}{2}$时，$\cos x \rightarrow 0$，$\sin x \rightarrow 1$，代入得：
$\ln L = \frac{0 + 0}{-1} = 0$

步骤5：还原指数形式
因此，$L = e^{\ln L} = e^0 = 1$。