题目

设曲面为=5-(x)^2-2(y)^2, 在点=5-(x)^2-2(y)^2 处的梯度为 ( )A. (1,2) B. (0,3) C. (3,4) D.以上都不对

设曲面为 $z=5-x^2-2y^2$ , 在点 $\left(-\frac{3}{2},-1,\frac{3}{4}\right)$ 处的梯度为 ( )

A. (1,2)

B. (0,3)

C. (3,4)

D.以上都不对

题目解答

答案

首先，我们来求出函数的偏导数。

对于 $z=5-x^2-2y^2，\frac{\partial z}{\partial x}=-2x，\frac{\partial z}{\partial y}=-4y$ 。

然后，我们来求出梯度的值。

由于梯度为 $(\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y})$ ，

所以在点 $\left(-\frac{3}{2},-1,\frac{3}{4}\right)$ 处的梯度为 $(-2x,-4y)|_{(-\frac{3}{2},-1)}=(3,4)$ 。

综上所述，在点 $\left(-\frac{3}{2},-1,\frac{3}{4}\right)$ 处的梯度为 (3,4)。所以正确答案是 C。这就是最终答案。

解析

步骤 1：求偏导数
对于函数$z=5-{x}^{2}-2{y}^{2}$，我们首先求出其关于$x$和$y$的偏导数。
- $\dfrac {\partial z}{\partial x}=-2x$
- $\dfrac {\partial z}{\partial y}=-4y$

步骤 2：计算梯度
梯度定义为$(\dfrac {\partial z}{\partial x},\dfrac {\partial z}{\partial y})$，因此，我们根据步骤1中求得的偏导数，可以得到梯度为$(-2x,-4y)$。

步骤 3：代入点$(-\dfrac {3}{2},-1,\dfrac {3}{4})$
将点$(-\dfrac {3}{2},-1)$代入梯度表达式中，得到梯度为$(-2(-\dfrac {3}{2}),-4(-1))=(3,4)$。