[题目]-|||-5.求函数 z=xy 在适合附加条件 x+y=1 下的极大值.

步骤 1：引入拉格朗日乘数
为了求解函数 $z = xy$ 在附加条件 $x + y = 1$ 下的极大值，我们引入拉格朗日乘数法。构造拉格朗日函数 $L(x, y, \lambda) = xy + \lambda (1 - x - y)$，其中 $\lambda$ 是拉格朗日乘数。

步骤 2：求偏导数并设置为零
对拉格朗日函数 $L(x, y, \lambda)$ 关于 $x$、$y$ 和 $\lambda$ 求偏导数，并将它们设置为零，得到以下方程组：
$$
\begin{cases}
\frac{\partial L}{\partial x} = y - \lambda = 0 \\
\frac{\partial L}{\partial y} = x - \lambda = 0 \\
\frac{\partial L}{\partial \lambda} = 1 - x - y = 0
\end{cases}
$$

步骤 3：解方程组
从方程组中解出 $x$ 和 $y$。由前两个方程得到 $y = \lambda$ 和 $x = \lambda$，代入第三个方程得到 $1 - \lambda - \lambda = 0$，即 $2\lambda = 1$，从而 $\lambda = \frac{1}{2}$。因此，$x = \frac{1}{2}$ 和 $y = \frac{1}{2}$。

步骤 4：计算极大值
将 $x = \frac{1}{2}$ 和 $y = \frac{1}{2}$ 代入原函数 $z = xy$，得到 $z(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$。