题目

设随机变量X的密度函数为(x)= ) c(x)^2,-1lt xlt 1 0,else ..

设随机变量X的密度函数为 $f_X(x)=\left \{ ^{cx^2,-1<x<1}_{0,else} \right.$ ，（1）计算常数c；

（2）计算概率 $P(0<X\le2)$ ；

（3）用分布函数法求 $Y=3X+1$ 的概率密度函数；

（4）求随机变量Y的数学期望 $E\left(Y\right)$ .

题目解答

答案

（1）一维连续型随机变量概率密度函数的归一性，即 $\int_{-\infty}^{+\infty}f_X\left(x\right)dx=1$ ，则 $\int_{-\infty}^{+\infty}f_X\left(x\right)dx=\int_{-1}^1cx^2dx=\int_0^12cx^2dx$ $=\frac{2}{3}cx^3|_0^1=\frac{2}{3}c=1$ ，则 $c=\frac{3}{2}$ ；

（2） $P(0<X\le2)=\int_0^2f_X\left(x\right)dx=\int_0^1\frac{3}{2}x^2dx$ $=\frac{1}{2}x^3|_0^1=\frac{1}{2}$ ；

（3） $Y=3X+1$ 的分布函数为 $F_Y\left(y\right)=P\left(Y\le y\right)=P\left(3X+1\le y\right)=P\left(X\le\frac{y-1}{3}\right)$ $=\int_{-1}^{\frac{y-1}{3}}f_X\left(x\right)dx=\int_{-1}^{\frac{y-1}{3}}\frac{3}{2}x^2dx,\left(-2<y<4\right)$ ，则Y的概率密度函数为 $f_Y\left(y\right)=F'_Y\left(y\right)=\frac{d\left(\int_{-1}^{\frac{y-1}{3}}\frac{3}{2}x^2dx\right)}{dy}$ $=\frac{1}{18}\left(y-1\right)^2,\left(-2<y<4\right)$ ，即 $f_Y\left(y\right)=\left \{ ^{\frac{1}{18}\left(y-1\right)^2,-2<y<4}_{0,else} \right.$ ；

（4）X的数学期望为 $E\left(X\right)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf_X\left(x\right)dx=\int_{-1}^1\frac{3}{2}x^3dx=0$ ，则 $E\left(Y\right)=E\left(3X+1\right)=3E\left(X\right)+1$ 随 $=3\times0+1=1$ .

解析

步骤 1：计算常数c
根据概率密度函数的归一性，即${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=1$，则
${\int }_{-1}^{1}c{x}^{2}dx=1$
步骤 2：计算概率$P(0\lt X\leqslant 2)$
$P(0\lt X\leqslant 2)={\int }_{0}^{2}f(x)dx$
步骤 3：用分布函数法求Y=3X+1的概率密度函数
Y=3X+1的分布函数为${F}_{Y}(y)=P(Y\leqslant y)=P(3x+1\leqslant y)=P(x\leqslant \dfrac {y-1}{3})$
步骤 4：求随机变量Y的数学期望
$E(Y)=E(3X+1)=3E(X)+1$