题目

四阶行列式中含有因子_(11)(a)_(23)的项为_(11)(a)_(23). A.对B.错

四阶行列式中含有因子 $a_{11}a_{23}$ 的项为 $a_{11}a_{44}a_{32}a_{23}$ .

A.对

B.错

题目解答

答案

四阶行列式的一般项是由位于不同行、不同列的4个元素的乘积组成的，并且这些元素在排列上满足逆序数为偶数（或称为偶排列）的条件。

考虑因子 $a_{11}a_{23}$ ，这两个元素已经占据了第1行第1列和第2行第3列的位置。为了找到含有这两个因子的项，我们需要从剩下的元素（即第3行和第4行的元素，以及第1列和第3列之外的元素）中选择两个元素，使得这四个元素构成一个偶排列。

然而，给出的项 $a_{11}a_{44}a_{32}a_{23}$ 中，虽然包含了 $a_{11}$ 和 $a_{23}$ ，但 $a_{32}$ 并不在剩下的可选元素中（因为 $a_{23}$ 已经占据了第2行第3列的位置，所以第3列只剩下第1行和第4行的元素可选），同时 $a_{44}$ 虽然可选，但与其他元素的组合并不满足题目中“含有因子 $a_{11}a_{23}$ ”的特定要求下的唯一性。

实际上，如果我们按照行列式的定义来构造含有 $a_{11}a_{23}$ 的项，并且要求这四个元素来自不同的行和列，那么一个可能的项是 $a_{11}a_{23}a_{3j}a_{4k}$ ，其中 $j\ne1,3$ 且 $k\ne1,2,3,4$ （但注意在四阶行列式中，k只能取2或4，因为其他列已经被占据了）。然而，由于k不能取4（因为 $a_{44}$ 已经被用于与 $a_{11}a_{23}$ 组合，但这并不符合题目给出的特定项），所以k只能取2，但这会导致与 $a_{23}$ 在同一列，违反行列式的定义。因此，我们需要从第3行选择除了第2列之外的元素（即第1列或第4列的元素）与 $a_{44}$ 组合。

但无论如何，题目给出的 $a_{11}a_{44}a_{32}a_{23}$ 并不是四阶行列式中唯一或特定的含有 $a_{11}a_{23}$ 的项，且从行列式的定义来看，这个组合并不满足所有元素来自不同行和列的条件（因为 $a_{32}$ 与 $a_{23}$ 在同一列）。

因此，题目中的说法“四阶行列式中含有因子 $a_{11}a_{23}$ 的项为 $a_{11}a_{44}a_{32}a_{23}$ ”是错误的。

故答案为：B. 错。

解析

步骤 1：理解四阶行列式的定义
四阶行列式是由4行4列的元素构成的，其值是所有可能的行和列的元素乘积的和，其中每个乘积的元素都来自不同的行和不同的列。每个乘积的符号由元素的排列的逆序数决定，即如果排列是偶排列，则乘积的符号为正；如果是奇排列，则乘积的符号为负。

步骤 2：分析含有因子a11a23的项
题目中提到的项a11a44a32a23，其中a11和a23已经确定了第1行第1列和第2行第3列的位置。为了满足四阶行列式的定义，剩下的两个元素必须来自第3行和第4行，且分别位于第2列和第4列（因为第1列和第3列已经被占据）。

步骤 3：验证给出的项是否满足条件
给出的项a11a44a32a23中，a11和a23已经确定，a44位于第4行第4列，a32位于第3行第2列。这个组合满足四阶行列式的定义，即每个元素来自不同的行和不同的列。但是，题目中说这是唯一含有因子a11a23的项，这是不正确的，因为还有其他可能的组合，例如a11a23a34a42，也满足四阶行列式的定义。