将函数(x)=dfrac (1)({x)^2+3x-18}展开成(x)=dfrac (1)({x)^2+3x-18}的幂级数

步骤 1：分解分母
将分母${x}^{2}+3x-18$分解为$(x+6)(x-3)$，得到$f(x)=\dfrac {1}{(x+6)(x-3)}$。
步骤 2：部分分式分解
将$f(x)$分解为部分分式，得到$f(x)=-\dfrac {1}{9}(\dfrac {1}{x+6}-\dfrac {1}{x-3})$。
步骤 3：利用泰勒公式展开
将$f(x)$中的每一项分别利用泰勒公式展开，得到$f(x)=-\dfrac {1}{54}(\dfrac {1}{1+\dfrac {x}{6}})-\dfrac {1}{27}(\dfrac {1}{1-\dfrac {x}{3}})$。
步骤 4：幂级数展开
将$f(x)$中的每一项分别展开为幂级数，得到$f(x)=-\dfrac {1}{54}\sum _{n=0}^{\infty }{(-\dfrac {x}{6})}^{n}-\dfrac {1}{27}\sum _{n=0}^{\infty }{(\dfrac {x}{3})}^{n}$。
步骤 5：合并幂级数
将$f(x)$中的幂级数合并，得到$f(x)=-\dfrac {1}{27}\sum _{n=0}^{\infty }[ \dfrac {1}{2}{(-\dfrac {1}{6})}^{n}+{(\dfrac {1}{3})}^{n}] {x}^{n}$。
步骤 6：确定收敛区间
确定幂级数的收敛区间，得到$x\in [ -3,3)$。