函数f(z)=e^x(cosy+isiny)在复平面上处处解析。[答案]( )

考查要点：本题主要考查复变函数解析性的判定，需要掌握柯西-黎曼方程的应用以及解析函数的定义。

解题核心思路：

1. 拆分函数：将复变函数分解为实部$u(x,y)$和虚部$v(x,y)$。
2. 验证柯西-黎曼方程：计算偏导数，验证$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$和$\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$是否成立。
3. 检查偏导数连续性：若偏导数连续，则函数解析。

破题关键点：

• 识别函数本质：题目中的函数$f(z) = e^x(\cos y + i \sin y)$实际上是$e^z$的展开形式，而$e^z$在复平面上处处解析。

将函数$f(z) = e^x(\cos y + i \sin y)$拆分为实部和虚部：
$u(x,y) = e^x \cos y, \quad v(x,y) = e^x \sin y.$

验证柯西-黎曼方程：

1. 计算偏导数：

   • $\frac{\partial u}{\partial x} = e^x \cos y$，$\frac{\partial v}{\partial y} = e^x \cos y$
   • $\frac{\partial u}{\partial y} = -e^x \sin y$，$\frac{\partial v}{\partial x} = e^x \sin y$

2. 代入方程：

   • $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$ 成立。
   • $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$ 成立。

偏导数连续性：
$u$和$v$由指数函数和三角函数组成，其偏导数连续。

结论：函数$f(z)$满足柯西-黎曼方程且偏导数连续，因此在复平面上处处解析。