函数f(z)=e^x(cosy+isiny)在复平面上处处解析。[答案]( )

步骤 1：复变函数解析的定义
复变函数f(z)在复平面上某点解析，意味着该函数在该点的邻域内可导。根据柯西-黎曼方程，如果f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中u和v是实函数，那么f(z)在某点解析的必要条件是u和v满足柯西-黎曼方程：∂u/∂x = ∂v/∂y 和 ∂u/∂y = -∂v/∂x。

步骤 2：将给定函数写成实部和虚部的形式
给定函数f(z) = e^x(cosy + isiny)可以写成f(z) = u(x, y) + iv(x, y)，其中u(x, y) = e^x cosy 和 v(x, y) = e^x siny。

步骤 3：验证柯西-黎曼方程
计算u和v的偏导数：
∂u/∂x = e^x cosy, ∂u/∂y = -e^x siny
∂v/∂x = e^x siny, ∂v/∂y = e^x cosy
验证柯西-黎曼方程：
∂u/∂x = ∂v/∂y = e^x cosy
∂u/∂y = -∂v/∂x = -e^x siny
由于u和v满足柯西-黎曼方程，所以f(z)在复平面上处处解析。