题目
已知男子有5%是色盲患者,女子有0.25 %是色盲患者.今从男女人数-|||-相等的人群中随机地挑选一人,恰好是色盲者,问此人是男性的概率是多少?
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义事件
设事件A表示“选出的是男性”，则事件$\overline{A}$表示“选出的是女性”。设事件H表示“选出的人患色盲”，则事件$\overline{H}$表示“选出的人不患色盲”。
步骤 2：确定概率
根据题设，$P(A)=P(\overline{A})=\dfrac{1}{2}$，$P(H|A)=0.05$，$P(H|\overline{A})=0.0025$。所需求的概率是$P(A|H)$。
步骤 3：应用贝叶斯公式
根据贝叶斯公式，$P(A|H)=\dfrac{P(H|A)P(A)}{P(H)}$。其中，$P(H)$可以通过全概率公式计算，即$P(H)=P(H|A)P(A)+P(H|\overline{A})P(\overline{A})$。
步骤 4：计算$P(H)$
$P(H)=0.05\times\dfrac{1}{2}+0.0025\times\dfrac{1}{2}=0.02625$。
步骤 5：计算$P(A|H)$
$P(A|H)=\dfrac{0.05\times\dfrac{1}{2}}{0.02625}=\dfrac{0.025}{0.02625}=\dfrac{20}{21}$。
设事件A表示“选出的是男性”，则事件$\overline{A}$表示“选出的是女性”。设事件H表示“选出的人患色盲”，则事件$\overline{H}$表示“选出的人不患色盲”。
步骤 2：确定概率
根据题设，$P(A)=P(\overline{A})=\dfrac{1}{2}$，$P(H|A)=0.05$，$P(H|\overline{A})=0.0025$。所需求的概率是$P(A|H)$。
步骤 3：应用贝叶斯公式
根据贝叶斯公式，$P(A|H)=\dfrac{P(H|A)P(A)}{P(H)}$。其中，$P(H)$可以通过全概率公式计算，即$P(H)=P(H|A)P(A)+P(H|\overline{A})P(\overline{A})$。
步骤 4：计算$P(H)$
$P(H)=0.05\times\dfrac{1}{2}+0.0025\times\dfrac{1}{2}=0.02625$。
步骤 5：计算$P(A|H)$
$P(A|H)=\dfrac{0.05\times\dfrac{1}{2}}{0.02625}=\dfrac{0.025}{0.02625}=\dfrac{20}{21}$。