题目
[2.5]一部五卷的文集,按任意次序排放到书架上,试求下列概率:-|||-(1)第一卷出现在两边;-|||-(2)第一卷及第五卷出现在两边;-|||-(3)第一卷或第五卷出现在两边;-|||-(4)第一卷或第五卷不出现在两边.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定样本空间
五卷文集的任意排列方式共有 $5! = 120$ 种，即样本空间的大小为120。
步骤 2：计算第一卷出现在两边的概率
第一卷出现在两边，即第一卷在第一个位置或最后一个位置。如果第一卷在第一个位置，剩下的四卷有 $4! = 24$ 种排列方式；如果第一卷在最后一个位置，剩下的四卷也有 $4! = 24$ 种排列方式。因此，第一卷出现在两边的排列方式共有 $24 + 24 = 48$ 种。所以，第一卷出现在两边的概率为 $P(A) = \dfrac{48}{120} = \dfrac{2}{5}$。
步骤 3：计算第一卷及第五卷出现在两边的概率
第一卷及第五卷出现在两边，即第一卷在第一个位置且第五卷在最后一个位置，或第一卷在最后一个位置且第五卷在第一个位置。每种情况剩下的三卷有 $3! = 6$ 种排列方式。因此，第一卷及第五卷出现在两边的排列方式共有 $6 + 6 = 12$ 种。所以，第一卷及第五卷出现在两边的概率为 $P(B) = \dfrac{12}{120} = \dfrac{1}{10}$。
步骤 4：计算第一卷或第五卷出现在两边的概率
第一卷或第五卷出现在两边，即第一卷在第一个位置或最后一个位置，或第五卷在第一个位置或最后一个位置。如果第一卷在第一个位置，剩下的四卷有 $4! = 24$ 种排列方式；如果第一卷在最后一个位置，剩下的四卷也有 $4! = 24$ 种排列方式；如果第五卷在第一个位置，剩下的四卷有 $4! = 24$ 种排列方式；如果第五卷在最后一个位置，剩下的四卷也有 $4! = 24$ 种排列方式。但是，第一卷和第五卷同时在两边的情况被重复计算了两次，即 $12$ 种。因此，第一卷或第五卷出现在两边的排列方式共有 $24 + 24 + 24 + 24 - 12 = 84$ 种。所以，第一卷或第五卷出现在两边的概率为 $P(C) = \dfrac{84}{120} = \dfrac{7}{10}$。
步骤 5：计算第一卷或第五卷不出现在两边的概率
第一卷或第五卷不出现在两边，即第一卷和第五卷都不在第一个位置或最后一个位置。剩下的三卷有 $3! = 6$ 种排列方式，第一卷和第五卷在中间三个位置的排列方式有 $3 \times 2 = 6$ 种。因此，第一卷或第五卷不出现在两边的排列方式共有 $6 \times 6 = 36$ 种。所以，第一卷或第五卷不出现在两边的概率为 $P(D) = \dfrac{36}{120} = \dfrac{3}{10}$。另外，也可以利用B与D的互逆性，$P(D) = 1 - P(B) = 1 - \dfrac{1}{10} = \dfrac{9}{10}$。
五卷文集的任意排列方式共有 $5! = 120$ 种，即样本空间的大小为120。
步骤 2：计算第一卷出现在两边的概率
第一卷出现在两边，即第一卷在第一个位置或最后一个位置。如果第一卷在第一个位置，剩下的四卷有 $4! = 24$ 种排列方式；如果第一卷在最后一个位置，剩下的四卷也有 $4! = 24$ 种排列方式。因此，第一卷出现在两边的排列方式共有 $24 + 24 = 48$ 种。所以，第一卷出现在两边的概率为 $P(A) = \dfrac{48}{120} = \dfrac{2}{5}$。
步骤 3：计算第一卷及第五卷出现在两边的概率
第一卷及第五卷出现在两边，即第一卷在第一个位置且第五卷在最后一个位置，或第一卷在最后一个位置且第五卷在第一个位置。每种情况剩下的三卷有 $3! = 6$ 种排列方式。因此，第一卷及第五卷出现在两边的排列方式共有 $6 + 6 = 12$ 种。所以，第一卷及第五卷出现在两边的概率为 $P(B) = \dfrac{12}{120} = \dfrac{1}{10}$。
步骤 4：计算第一卷或第五卷出现在两边的概率
第一卷或第五卷出现在两边，即第一卷在第一个位置或最后一个位置，或第五卷在第一个位置或最后一个位置。如果第一卷在第一个位置，剩下的四卷有 $4! = 24$ 种排列方式；如果第一卷在最后一个位置，剩下的四卷也有 $4! = 24$ 种排列方式；如果第五卷在第一个位置，剩下的四卷有 $4! = 24$ 种排列方式；如果第五卷在最后一个位置，剩下的四卷也有 $4! = 24$ 种排列方式。但是，第一卷和第五卷同时在两边的情况被重复计算了两次，即 $12$ 种。因此，第一卷或第五卷出现在两边的排列方式共有 $24 + 24 + 24 + 24 - 12 = 84$ 种。所以，第一卷或第五卷出现在两边的概率为 $P(C) = \dfrac{84}{120} = \dfrac{7}{10}$。
步骤 5：计算第一卷或第五卷不出现在两边的概率
第一卷或第五卷不出现在两边，即第一卷和第五卷都不在第一个位置或最后一个位置。剩下的三卷有 $3! = 6$ 种排列方式，第一卷和第五卷在中间三个位置的排列方式有 $3 \times 2 = 6$ 种。因此，第一卷或第五卷不出现在两边的排列方式共有 $6 \times 6 = 36$ 种。所以，第一卷或第五卷不出现在两边的概率为 $P(D) = \dfrac{36}{120} = \dfrac{3}{10}$。另外，也可以利用B与D的互逆性，$P(D) = 1 - P(B) = 1 - \dfrac{1}{10} = \dfrac{9}{10}$。