题目
设A，B为同阶可逆矩阵，则（ ）A. AB=BAB. 存在可逆矩阵P，使P -1 AP=BC. 存在可逆矩阵C，使C T AC=BD. 存在可逆矩阵P和Q，使PAQ=B
设A，B为同阶可逆矩阵，则（ ）
A. AB=BA
B. 存在可逆矩阵P，使P -1 AP=B
C. 存在可逆矩阵C，使C T AC=B
D. 存在可逆矩阵P和Q，使PAQ=B
题目解答
答案
D. 存在可逆矩阵P和Q，使PAQ=B
解析
步骤 1：分析选项A
AB=BA表示矩阵A和B的乘法是可交换的。然而，矩阵乘法一般不满足交换律，即AB不一定等于BA。因此，选项A不正确。
步骤 2：分析选项B
选项B表示存在可逆矩阵P，使得P ^{-1}AP=B。这表示矩阵A和B是相似的。然而，相似矩阵的定义是存在可逆矩阵P，使得P ^{-1}AP=B，但并不意味着所有同阶可逆矩阵都满足这个条件。因此，选项B不正确。
步骤 3：分析选项C
选项C表示存在可逆矩阵C，使得C ^{T}AC=B。这表示矩阵A和B是合同的。然而，合同矩阵的定义是存在可逆矩阵C，使得C ^{T}AC=B，但并不意味着所有同阶可逆矩阵都满足这个条件。因此，选项C不正确。
步骤 4：分析选项D
选项D表示存在可逆矩阵P和Q，使得PAQ=B。这表示矩阵A和B是等价的。根据矩阵等价的定义，如果A和B是同阶可逆矩阵，那么存在可逆矩阵P和Q，使得PAQ=B。因此，选项D正确。
AB=BA表示矩阵A和B的乘法是可交换的。然而，矩阵乘法一般不满足交换律，即AB不一定等于BA。因此，选项A不正确。
步骤 2：分析选项B
选项B表示存在可逆矩阵P，使得P ^{-1}AP=B。这表示矩阵A和B是相似的。然而，相似矩阵的定义是存在可逆矩阵P，使得P ^{-1}AP=B，但并不意味着所有同阶可逆矩阵都满足这个条件。因此，选项B不正确。
步骤 3：分析选项C
选项C表示存在可逆矩阵C，使得C ^{T}AC=B。这表示矩阵A和B是合同的。然而，合同矩阵的定义是存在可逆矩阵C，使得C ^{T}AC=B，但并不意味着所有同阶可逆矩阵都满足这个条件。因此，选项C不正确。
步骤 4：分析选项D
选项D表示存在可逆矩阵P和Q，使得PAQ=B。这表示矩阵A和B是等价的。根据矩阵等价的定义，如果A和B是同阶可逆矩阵，那么存在可逆矩阵P和Q，使得PAQ=B。因此，选项D正确。