题目
3.设三阶方阵A=}alpha2gamma_(1)3gamma_(1),已知|A|=6,|B|=1,则|A-B|=____.
3.设三阶方阵$A=\begin{pmatrix}\alpha\\2\gamma_{1}\\3\gamma_{1}\end{pmatrix}$,$B=\begin{pmatrix}\beta\\\gamma_{1}\\\gamma_{1}\end{pmatrix}$,已知|A|=6,|B|=1,则|A-B|=____.
题目解答
答案
计算 $A - B$ 的行列式：
\[
A - B = \begin{pmatrix} \alpha - \beta \\ \gamma_1 \\ 2\gamma_2 \end{pmatrix}
\]
利用行列式性质，提取第三行公因数2：
\[
|A - B| = 2 \left| \begin{pmatrix} \alpha - \beta \\ \gamma_1 \\ \gamma_2 \end{pmatrix} \right|
\]
分解行列式：
\[
\left| \begin{pmatrix} \alpha - \beta \\ \gamma_1 \\ \gamma_2 \end{pmatrix} \right| = \left| \begin{pmatrix} \alpha \\ \gamma_1 \\ \gamma_2 \end{pmatrix} \right| - \left| \begin{pmatrix} \beta \\ \gamma_1 \\ \gamma_2 \end{pmatrix} \right|
\]
已知 $|B| = 1$，且由 $|A| = 6$ 得：
\[
6 = 6 \left| \begin{pmatrix} \alpha \\ \gamma_1 \\ \gamma_2 \end{pmatrix} \right| \Rightarrow \left| \begin{pmatrix} \alpha \\ \gamma_1 \\ \gamma_2 \end{pmatrix} \right| = 1
\]
代入得：
\[
\left| \begin{pmatrix} \alpha - \beta \\ \gamma_1 \\ \gamma_2 \end{pmatrix} \right| = 1 - 1 = 0
\]
因此：
\[
|A - B| = 2 \times 0 = 0
\]
答案：$\boxed{0}$
解析
考查要点：本题主要考查三阶行列式的性质与计算，特别是行列式的行线性性质和行因子提取的应用。
解题核心思路：
- 构造矩阵$A-B$，观察其行结构，提取公因数简化行列式计算。
- 分解行列式：利用行列式第一行的线性性质，将复杂行列式拆分为已知行列式的差。
- 关联已知条件：通过$|A|=6$和$|B|=1$，推导出关键行列式的值，最终代入求解。
破题关键点：
- 提取公因数：第三行的公因数简化计算。
- 行列式分解：将$A-B$的行列式拆分为与$|A|$和$|B|$相关的部分。
- 关联已知行列式：通过$|A|$和$|B|$的值，确定中间行列式的具体数值。
构造矩阵$A-B$：
$A - B = \begin{pmatrix} \alpha - \beta \\ \gamma_1 \\ 2\gamma_2 \end{pmatrix}$
提取第三行公因数：
$|A - B| = 2 \cdot \left| \begin{pmatrix} \alpha - \beta \\ \gamma_1 \\ \gamma_2 \end{pmatrix} \right|$
分解行列式：
利用行列式第一行的线性性质：
$\left| \begin{pmatrix} \alpha - \beta \\ \gamma_1 \\ \gamma_2 \end{pmatrix} \right| = \left| \begin{pmatrix} \alpha \\ \gamma_1 \\ \gamma_2 \end{pmatrix} \right| - \left| \begin{pmatrix} \beta \\ \gamma_1 \\ \gamma_2 \end{pmatrix} \right|$
关联已知条件：
- 由$|A|=6$，提取行因子得：
$6 = 6 \cdot \left| \begin{pmatrix} \alpha \\ \gamma_1 \\ \gamma_2 \end{pmatrix} \right| \implies \left| \begin{pmatrix} \alpha \\ \gamma_1 \\ \gamma_2 \end{pmatrix} \right| = 1$ - 由$|B|=1$，直接得：
$\left| \begin{pmatrix} \beta \\ \gamma_1 \\ \gamma_2 \end{pmatrix} \right| = 1$
代入计算：
$\left| \begin{pmatrix} \alpha - \beta \\ \gamma_1 \\ \gamma_2 \end{pmatrix} \right| = 1 - 1 = 0$
最终结果：
$|A - B| = 2 \cdot 0 = 0$