函数 f(x) = (|x| sin (x-2))/(x (x-1) (x-2)^2) 在下列哪个区间内有界(A) (-infty, 0).(B) (0, 1).(C) (1, 2).(D) (2, +infty).

我们来分析函数 $$ f(x) = \frac{|x| \sin (x-2)}{x (x-1) (x-2)^2} $$ 在给定区间内的**有界性**，即函数值是否始终在一个有限范围内。 --- ### 一、分析函数结构 函数形式为： $$ f(x) = \frac{|x| \sin(x-2)}{x(x-1)(x-2)^2} $$ 分子： - $|x|$：绝对值函数，在 $x \ne 0$ 处连续，且在 $x \to 0$ 时趋近于 0。 - $\sin(x - 2)$：有界函数，范围在 $[-1, 1]$。 分母： - $x(x-1)(x-2)^2$：在 $x = 0, 1, 2$ 处为 0，因此这些点是**奇点**，需要特别注意。 --- ### 二、逐个分析选项 --- #### (A) $(-\infty, 0)$ 在该区间，$x < 0$，所以 $|x| = -x$，函数变为： $$ f(x) = \frac{-x \sin(x - 2)}{x(x-1)(x-2)^2} = \frac{-\sin(x - 2)}{(x-1)(x-2)^2} $$ - $\sin(x - 2)$ 有界（范围在 $[-1, 1]$）。 - 分母为 $(x - 1)(x - 2)^2$，在 $x < 0$ 时，$x - 1 < 0$，$x - 2 < 0$，所以分母为负数，但不会为 0。 - 所以整个函数是两个有界函数的商，且分母不为 0。 ✅ **在 $(-\infty, 0)$ 上有界。** --- #### (B) $(0, 1)$ - $x > 0$，所以 $|x| = x$，函数变为： $$ f(x) = \frac{x \sin(x - 2)}{x(x - 1)(x - 2)^2} = \frac{\sin(x - 2)}{(x - 1)(x - 2)^2} $$ - $\sin(x - 2)$ 有界。 - 分母为 $(x - 1)(x - 2)^2$，在 $x \in (0, 1)$ 时： - $x - 1 < 0$ - $x - 2 < 0$，所以 $(x - 2)^2 > 0$ - 所以分母为负数，但不为 0。 - 所以函数仍然为两个有界函数的商，且分母不为 0。 ✅ **在 $(0, 1)$ 上有界。** --- #### (C) $(1, 2)$ - $x > 0$，所以 $|x| = x$，函数变为： $$ f(x) = \frac{\sin(x - 2)}{(x - 1)(x - 2)^2} $$ - $\sin(x - 2)$ 有界。 - 分母为 $(x - 1)(x - 2)^2$，在 $x \in (1, 2)$ 时： - $x - 1 > 0$ - $x - 2 < 0$，所以 $(x - 2)^2 > 0$ - 所以分母为正数，不为 0。 ✅ **在 $(1, 2)$ 上有界。** --- #### (D) $(2, +\infty)$ - $x > 0$，所以 $|x| = x$，函数变为： $$ f(x) = \frac{\sin(x - 2)}{(x - 1)(x - 2)^2} $$ - $\sin(x - 2)$ 有界。 - 分母为 $(x - 1)(x - 2)^2$，在 $x > 2$ 时： - $x - 1 > 0$ - $x - 2 > 0$，所以 $(x - 2)^2 > 0$ - 所以分母为正数，不为 0。 ✅ **在 $(2, +\infty)$ 上有界。** --- ### 三、结论 我们发现函数在所有四个区间中都是**有界的**，但题目问的是“**在下列哪个区间内有界**”，意味着只需要选择一个最合适的选项。 从四个选项中，我们发现： - (A)、(B)、(C)、(D) 都有界。 - 但最接近奇点 $x = 2$ 的是 (C) 和 (D)，而 (C) 是最接近奇点的区间。 --- ### ✅ 最佳答案是： $$ \boxed{\text{(C) } (1, 2)} $$ 这是最接近奇点 $x = 2$ 的区间，函数在该区间内有界，说明函数在奇点附近仍然有界，说明该奇点是**可去奇点**或**振荡有界**的。