注 类似地，可求解下列题目 已知当x→0时，f(x)=ln(1+x)/(1-x)-2ln(x+sqrt(1+x^2))是x的n阶无穷小，则n= (A. 1.B. 2.C. 3.D. 4.

考查要点：本题主要考查泰勒展开的应用，以及无穷小阶的比较。需要将两个对数函数展开到足够高的阶数，通过相减后的主部确定无穷小的阶。

解题核心思路：

1. 泰勒展开：将两个对数函数分别展开到三阶小量，保留到$x^3$项。
2. 相减求差：通过展开式相减，消去低阶项，找到主部项的阶数。
3. 判断阶数：根据主部项的最高次幂确定无穷小的阶。

破题关键点：

• 正确展开两个对数函数：注意$\ln\frac{1+x}{1-x}$的展开式可通过拆分为$\ln(1+x)-\ln(1-x)$简化；而$2\ln(x+\sqrt{1+x^2})$需利用反双曲函数或直接求导展开。
• 主部项的识别：相减后保留的最高次项决定了无穷小的阶。

步骤1：展开$\ln\frac{1+x}{1-x}$

将$\ln\frac{1+x}{1-x}$拆分为$\ln(1+x)-\ln(1-x)$，分别展开：

• $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + O(x^5)$
• $\ln(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + O(x^5)$

相减得：
$\ln\frac{1+x}{1-x} = 2x + \frac{2x^3}{3} + O(x^5)$

步骤2：展开$2\ln(x+\sqrt{1+x^2})$

令$f(x) = \ln(x+\sqrt{1+x^2})$，通过求导展开：

• $f(0) = 0$
• $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \Rightarrow f'(0) = 1$
• $f''(x) = -\frac{x}{(1+x^2)^{3/2}} \Rightarrow f''(0) = 0$
• $f'''(x) = -\frac{(1+x^2)^{3/2} - \frac{3x^2}{2}(1+x^2)^{1/2}}{(1+x^2)^3} \Rightarrow f'''(0) = -1$

泰勒展开至三阶：
$f(x) = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$
乘以2得：
$2\ln(x+\sqrt{1+x^2}) = 2x - \frac{2x^3}{3} + O(x^5)$

步骤3：求差并确定主部项

将两部分相减：
$f(x) = \left(2x + \frac{2x^3}{3}\right) - \left(2x - \frac{2x^3}{3}\right) + O(x^5) = \frac{4x^3}{3} + O(x^5)$
主部项为$\frac{4x^3}{3}$，故$f(x)$是$x$的3阶无穷小。