题目
若A、B都是n阶矩阵，且A·B=0，则A的秩< n。(10分)A.正确B.错误
若A、B都是n阶矩阵，且A·B=0，则A的秩< n。
(10分)
A.正确
B.错误
题目解答
答案
为了确定给定陈述的正确性，我们需要分析矩阵$A$和$B$的性质以及它们的乘积。陈述如下：若$A$和$B$都是$n$阶矩阵，且$A \cdot B = 0$，则$A$的秩小于$n$。
让我们逐步分析：
1. **理解矩阵乘积$A \cdot B = 0$**：
- 矩阵乘积$A \cdot B = 0$意味着$B$的每一列都是齐次线性方程组$A \mathbf{x} = \mathbf{0}$的解。
- 换句话说，$B$的列向量位于$A$的零空间中。
2. **$A$的秩与$A$的零空间**：
- 矩阵$A$的秩是$A$的线性独立列向量的数量。
- $A$的零空间是所有满足$A \mathbf{x} = \mathbf{0}$的向量$\mathbf{x}$的集合。
- $A$的秩和$A$的零空间的维数之和等于$A$的列数（这是秩-零化度定理）。对于$n$阶矩阵$A$，我们有：
\[
\text{秩}(A) + \text{零化度}(A) = n
\]
- 由于$B$的列向量位于$A$的零空间中，且$B$是一个$n$阶矩阵，如果$B \neq 0$，那么$A$的零空间中至少有一个非零向量。这意味着$A$的零化度至少为1。
3. **结论**：
- 如果$A$的零化度至少为1，那么根据秩-零化度定理，$A$的秩最多为$n-1$。
- 因此，$A$的秩小于$n$。
然而，陈述没有指定$B \neq 0$。如果$B = 0$，那么$A \cdot B = 0$对于任何矩阵$A$都成立，包括满秩矩阵（即，$\text{秩}(A) = n$）。因此，陈述并不总是正确的。
因此，正确答案是：
\[
\boxed{B}
\]
解析
考查要点：本题主要考查矩阵乘积为零矩阵时，矩阵秩的性质，以及秩-零化度定理的应用。
解题核心思路：
- 矩阵乘积为零的含义：若$A \cdot B = 0$，则$B$的每一列均为齐次方程组$A\mathbf{x} = \mathbf{0}$的解，即$B$的列向量属于$A$的零空间。
- 秩-零化度定理：$\text{秩}(A) + \text{零化度}(A) = n$。若$A$的零空间非平凡（即存在非零向量），则$\text{秩}(A) < n$。
- 关键例外：若$B$本身为零矩阵，则无论$A$是否满秩，$A \cdot B = 0$均成立，此时结论不成立。
破题关键：
- 明确$B$是否为零矩阵：题目未限制$B \neq 0$，因此需考虑$B = 0$的情况。
- 反例验证：通过构造$A$为满秩矩阵（如单位矩阵）且$B = 0$，说明原命题不成立。
步骤1：分析矩阵乘积为零的条件
若$A \cdot B = 0$，则$B$的每一列均为$A\mathbf{x} = \mathbf{0}$的解，即$B$的列向量属于$A$的零空间。若$B \neq 0$，则$A$的零空间维数（零化度）至少为1，根据秩-零化度定理，$\text{秩}(A) \leq n - 1$，即$\text{秩}(A) < n$。
步骤2：考虑$B = 0$的特殊情况
若$B = 0$，则无论$A$是否为满秩矩阵，均有$A \cdot B = 0$。例如，取$A$为$n$阶单位矩阵$I$，此时$\text{秩}(A) = n$，但$I \cdot 0 = 0$，满足条件。此时结论$\text{秩}(A) < n$不成立。
步骤3：综合判断
由于题目未限制$B \neq 0$，存在$B = 0$的情况使得结论不成立，因此原命题错误。