3.复数sqrt (2)+2sqrt (2)i的三角表达式（）A.sqrt (2)+2sqrt (2)iB.sqrt (2)+2sqrt (2)iC.sqrt (2)+2sqrt (2)iD. sqrt (2)+2sqrt (2)i

考查要点：本题主要考查复数的三角表达式的求解，涉及复数的模、辐角的计算，以及三角形式的正确写法。

解题核心思路：

1. 计算复数的模：利用公式$r = \sqrt{a^2 + b^2}$，其中$a$和$b$分别为复数的实部和虚部。
2. 确定辐角：通过$\tan \theta = \dfrac{b}{a}$计算角度，并结合复数所在象限确定具体值。
3. 代入三角形式：将模和辐角代入三角表达式$r(\cos \theta + i \sin \theta)$。

破题关键点：

• 模的计算需准确代入实部和虚部的值。
• 辐角的确定需注意复数所在象限，避免角度错误。
• 符号与选项匹配，注意三角形式中的加减号和模的大小。

步骤1：计算模

复数$2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}i$的实部$a = 2\sqrt{2}$，虚部$b = 2\sqrt{2}$，模为：
$r = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{8 + 8} = \sqrt{16} = 4$

步骤2：确定辐角

由$\tan \theta = \dfrac{b}{a} = \dfrac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = 1$，得$\theta = \dfrac{\pi}{4}$。
由于实部和虚部均为正数，复数位于第一象限，故辐角为$\dfrac{\pi}{4}$。

步骤3：写出三角表达式

将模$r = 4$和辐角$\theta = \dfrac{\pi}{4}$代入三角形式：
$2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}i = 4\left( \cos \dfrac{\pi}{4} + i \sin \dfrac{\pi}{4} \right)$

选项分析：

• A：符号为减号，错误。
• B：模为1，与计算结果不符。
• C：辐角为$\dfrac{\pi}{3}$，错误。
• D：模和辐角均正确。