题目

设z=f(x,y)是由方程z=f(x,y)所确定的隐函数，则函数z=f(x,y)在点z=f(x,y)处的的全微分z=f(x,y)_____.

设 $z=f(x,y)$ 是由方程 $z-y+2xe^{z-x-y}=0$ 所确定的隐函数，则函数 $f(x,y)$ 在点 $(0,1)$ 处的的全微分 $dz=$ _____.

题目解答

答案

我们对方程 $z-y+2xe^{z-x-y}=0$ 关于x求偏导，得到 $\frac{\partial z}{\partial x}+2e^{z-x-y}+2xe^{z-x-y}\cdot\left(\frac{\partial z}{\partial x}-1\right)=0$ ，故有 $\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{2e^{z-x-y}\left(x-1\right)}{1+2xe^{z-x-y}}$ ，对方程 $z-y+2xe^{z-x-y}=0$ 关于y求偏导，得到 $\frac{\partial z}{\partial y}-1+2xe^{z-x-y}\cdot\left(\frac{\partial z}{\partial y}-1\right)=0$ ，故有 $\frac{\partial z}{\partial y}=1$ ，利用全微分公式，故得到全微分 $dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy=\frac{2e^{z-x-y}\left(x-1\right)}{1+2xe^{z-x-y}}dx+dy$ ，代入点 $(0,1)$ ，故有 $dz|_{\left(0,1\right)}=-2dx+dy$ .

故答案为： $-2dx+dy$

解析

步骤 1：求偏导数
对给定的方程$-y+2x{e}^{z-x-y}=0$，我们首先需要分别对x和y求偏导数，以找到$\dfrac {\partial z}{\partial x}$和$\dfrac {\partial z}{\partial y}$。对x求偏导数时，我们得到$\dfrac {\partial z}{\partial x}+2{e}^{z-x-y}+2x{e}^{z-x-y}(\dfrac {\partial z}{\partial x}-1)=0$，整理后得到$\dfrac {\partial z}{\partial x}=\dfrac {2{e}^{z-x-y}(1-x)}{1+2x{e}^{z-x-y}}$。对y求偏导数时，我们得到$\dfrac {\partial z}{\partial y}-1+2x{e}^{z-x-y}(\dfrac {\partial z}{\partial y}-1)=0$，整理后得到$\dfrac {\partial z}{\partial y}=\dfrac {1}{1+2x{e}^{z-x-y}}$。

步骤 2：代入点(0,1)
将点(0,1)代入上述偏导数表达式中，得到$\dfrac {\partial z}{\partial x}=\dfrac {2{e}^{z-0-1}(1-0)}{1+2\cdot 0\cdot {e}^{z-0-1}}=2{e}^{z-1}$和$\dfrac {\partial z}{\partial y}=\dfrac {1}{1+2\cdot 0\cdot {e}^{z-0-1}}=1$。由于点(0,1)满足原方程，即$-1+2\cdot 0\cdot {e}^{z-0-1}=0$，解得$z=1$。

步骤 3：计算全微分
根据全微分公式，$dz=\dfrac {\partial z}{\partial x}dx+\dfrac {\partial z}{\partial y}dy$，代入$\dfrac {\partial z}{\partial x}=2{e}^{z-1}$和$\dfrac {\partial z}{\partial y}=1$，得到$dz=2{e}^{z-1}dx+dy$。将$z=1$代入，得到$dz=2{e}^{1-1}dx+dy=2dx+dy$。