1.求下列极限:-|||-(1) lim _(narrow infty )dfrac ({n)^3+3(n)^2+1}(4{n)^3+2n+3} =-|||-(3) lim _(narrow infty )dfrac ({(-2))^n+(3)^n}({(-2))^n+1+(3)^n+1} ;-|||-(2 lim _(narrow infty )dfrac (1+2n)({n)^2} =-|||-(4) lim _(narrow infty )(sqrt ({n)^2+n}-n) ;

1. 分式极限：当分子分母均为多项式时，最高次项的系数比决定极限值；
2. 阶数比较：若分子阶数低于分母，极限为0；
3. 指数主导：指数函数中底数绝对值大的项主导整体趋势；
4. 有理化法：通过分子分母同乘共轭化简根式差。

第（1）题

分子分母同除以最高次项

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^3 + 3n^2 + 1}{4n^3 + 2n + 3} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^3}}{4 + \frac{2}{n^2} + \frac{3}{n^3}}$

取极限

当$n \to \infty$时，$\frac{3}{n}, \frac{1}{n^3}, \frac{2}{n^2}, \frac{3}{n^3} \to 0$，故极限为$\frac{1}{4}$。

第（2）题

分子分母同除以$n^2$

$\lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2n}{n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n}}{1}$

取极限

当$n \to \infty$时，$\frac{1}{n^2} \to 0$，$\frac{2}{n} \to 0$，故极限为$0$。

第（3）题

分子分母同除以$3^n$

$\lim_{n \to \infty} \frac{(-2)^n + 3^n}{-2 \cdot (-2)^n + 3 \cdot 3^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\left(-\frac{2}{3}\right)^n + 1}{-2 \left(-\frac{2}{3}\right)^n + 3}$

取极限

当$n \to \infty$时，$\left(-\frac{2}{3}\right)^n \to 0$，故极限为$\frac{1}{3}$。

第（4）题

有理化处理

$\sqrt{n^2 + n} - n = \frac{(\sqrt{n^2 + n} - n)(\sqrt{n^2 + n} + n)}{\sqrt{n^2 + n} + n} = \frac{n}{\sqrt{n^2 + n} + n}$

分子分母同除以$n$

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{1}{2}$