题目
设矩阵A= 1 -1-|||--2 1,A= 1 -1-|||--2 1是A= 1 -1-|||--2 1的伴随矩阵，则A= 1 -1-|||--2 1的元素A= 1 -1-|||--2 1的代数余子式的值为（）
设矩阵
,
是
的伴随矩阵，则的元素
的代数余子式的值为（）
题目解答
答案
矩阵的各个元素的代数余子式为：
所以伴随矩阵为：
所以的元素的代数余子式的值为：
解析
步骤 1：计算矩阵A的代数余子式
给定矩阵A，我们需要计算其伴随矩阵${A}^{+}$的元素a12的代数余子式。首先，我们需要知道矩阵A的各个元素的代数余子式。根据题目给出的信息，矩阵A的各个元素的代数余子式为：
${A}_{11}=1$，${A}_{12}=2$，${A}_{21}=1$，${A}_{22}=1$。
步骤 2：构造伴随矩阵${A}^{+}$
伴随矩阵${A}^{+}$的元素是由矩阵A的代数余子式构成的，且伴随矩阵${A}^{+}$的元素${A}_{ij}$是矩阵A的元素$a_{ij}$的代数余子式。因此，伴随矩阵${A}^{+}$为：
${A}^{+}=\begin{bmatrix} {A}_{11} & {A}_{21} \\ {A}_{12} & {A}_{22} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$
步骤 3：计算${A}^{+}$的元素a12的代数余子式
根据伴随矩阵${A}^{+}$的定义，${A}^{+}$的元素a12的代数余子式是矩阵A的元素$a_{21}$的代数余子式。根据代数余子式的定义，${A}_{21}$的代数余子式为${(-1)}^{2+1}\times {A}_{21}={(-1)}^{3}\times 1=-1$。但是，题目要求的是${A}^{+}$的元素a12的代数余子式，即${A}_{12}$的代数余子式，根据代数余子式的定义，${A}_{12}$的代数余子式为${(-1)}^{1+2}\times {A}_{12}={(-1)}^{3}\times 2=-2$。
给定矩阵A，我们需要计算其伴随矩阵${A}^{+}$的元素a12的代数余子式。首先，我们需要知道矩阵A的各个元素的代数余子式。根据题目给出的信息，矩阵A的各个元素的代数余子式为：
${A}_{11}=1$，${A}_{12}=2$，${A}_{21}=1$，${A}_{22}=1$。
步骤 2：构造伴随矩阵${A}^{+}$
伴随矩阵${A}^{+}$的元素是由矩阵A的代数余子式构成的，且伴随矩阵${A}^{+}$的元素${A}_{ij}$是矩阵A的元素$a_{ij}$的代数余子式。因此，伴随矩阵${A}^{+}$为：
${A}^{+}=\begin{bmatrix} {A}_{11} & {A}_{21} \\ {A}_{12} & {A}_{22} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$
步骤 3：计算${A}^{+}$的元素a12的代数余子式
根据伴随矩阵${A}^{+}$的定义，${A}^{+}$的元素a12的代数余子式是矩阵A的元素$a_{21}$的代数余子式。根据代数余子式的定义，${A}_{21}$的代数余子式为${(-1)}^{2+1}\times {A}_{21}={(-1)}^{3}\times 1=-1$。但是，题目要求的是${A}^{+}$的元素a12的代数余子式，即${A}_{12}$的代数余子式，根据代数余子式的定义，${A}_{12}$的代数余子式为${(-1)}^{1+2}\times {A}_{12}={(-1)}^{3}\times 2=-2$。