题目
4.若f(x)的一个原函数是F(x),则 int dfrac (2)(x)f(ln x)dx= ()-|||-A.2F(lnx) B. (ln x)+C-|||-C. dfrac (2)(x)F(ln x)+C D. (dfrac (2)(x))+C
题目解答
答案
解析
步骤 1：换元法
设 $u = \ln x$，则 $du = \dfrac{1}{x}dx$，从而 $\dfrac{2}{x}dx = 2du$。
步骤 2：代入原函数
将 $u = \ln x$ 代入原函数 $f(x)$，得到 $f(u)$。由于 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，所以 $F(u)$ 是 $f(u)$ 的一个原函数。
步骤 3：积分计算
根据换元法，原积分 $\int \dfrac{2}{x}f(\ln x)dx$ 变为 $\int 2f(u)du$。由于 $F(u)$ 是 $f(u)$ 的一个原函数，所以 $\int 2f(u)du = 2F(u) + C$。
步骤 4：回代
将 $u = \ln x$ 回代，得到 $\int \dfrac{2}{x}f(\ln x)dx = 2F(\ln x) + C$。
设 $u = \ln x$，则 $du = \dfrac{1}{x}dx$，从而 $\dfrac{2}{x}dx = 2du$。
步骤 2：代入原函数
将 $u = \ln x$ 代入原函数 $f(x)$，得到 $f(u)$。由于 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，所以 $F(u)$ 是 $f(u)$ 的一个原函数。
步骤 3：积分计算
根据换元法，原积分 $\int \dfrac{2}{x}f(\ln x)dx$ 变为 $\int 2f(u)du$。由于 $F(u)$ 是 $f(u)$ 的一个原函数，所以 $\int 2f(u)du = 2F(u) + C$。
步骤 4：回代
将 $u = \ln x$ 回代，得到 $\int \dfrac{2}{x}f(\ln x)dx = 2F(\ln x) + C$。