题目
3.若幂级数 sum _(n=0)^infty (a)_(n)(x)^n 的收敛半径为R,那么 ()-|||-A. lim _(narrow infty )dfrac ({a)_(n+1)}({a)_(n)}=R B. lim _(narrow infty )dfrac ({a)_(n)}({a)_(n+1)}=R-|||-C.liman=R D. lim _(narrow infty )dfrac ({a)_(n+1)}({a)_(n)} 不一定存在-|||-n ∞
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解幂级数收敛半径的定义
幂级数 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ 的收敛半径R定义为使得幂级数收敛的x值的绝对值的最大值。即，当 $|x|R$ 时，幂级数发散。
步骤 2：分析选项
A. $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=R$：这个选项是错误的，因为收敛半径R与 $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$ 的关系是 $R=\dfrac {1}{\lim _{n\rightarrow \infty }\left|\dfrac {{a}_{n+1}}{{a}_{n}}\right|}$，而不是直接等于 $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$。
B. $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{a}_{n}}{{a}_{n+1}}=R$：这个选项也是错误的，因为收敛半径R与 $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$ 的关系是 $R=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|\dfrac {{a}_{n}}{{a}_{n+1}}\right|$，而不是直接等于 $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$。
C. $\lim _{n\rightarrow \infty }{a}_{n}=R$：这个选项是错误的，因为收敛半径R与 ${a}_{n}$ 的极限没有直接关系。
D. $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$ 不一定存在：这个选项是正确的，因为收敛半径R的定义并不依赖于 $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$ 的存在性。即使 $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$ 不存在，幂级数仍然可以有收敛半径。
幂级数 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ 的收敛半径R定义为使得幂级数收敛的x值的绝对值的最大值。即，当 $|x|
步骤 2：分析选项
A. $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=R$：这个选项是错误的，因为收敛半径R与 $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$ 的关系是 $R=\dfrac {1}{\lim _{n\rightarrow \infty }\left|\dfrac {{a}_{n+1}}{{a}_{n}}\right|}$，而不是直接等于 $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$。
B. $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{a}_{n}}{{a}_{n+1}}=R$：这个选项也是错误的，因为收敛半径R与 $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$ 的关系是 $R=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|\dfrac {{a}_{n}}{{a}_{n+1}}\right|$，而不是直接等于 $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$。
C. $\lim _{n\rightarrow \infty }{a}_{n}=R$：这个选项是错误的，因为收敛半径R与 ${a}_{n}$ 的极限没有直接关系。
D. $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$ 不一定存在：这个选项是正确的，因为收敛半径R的定义并不依赖于 $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$ 的存在性。即使 $\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$ 不存在，幂级数仍然可以有收敛半径。