三、、(8分)求曲线 =dfrac (t)(1+t) ,=dfrac (1+t)(t) =(t)^2 在对应于 _(0)=1 的点处的切线和法平面方程.

考查要点：本题主要考查参数方程表示的曲线在指定点处的切线方程和法平面方程的求解方法。

解题核心思路：

1. 确定曲线在$t_0=1$处的坐标点：将$t=1$代入参数方程，分别计算$x_0, y_0, z_0$。
2. 求曲线的切向量：对参数方程的$x(t), y(t), z(t)$分别求导，得到$\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt}$，并在$t=1$处代入求值。
3. 切线方程：利用点向式方程，以切向量为方向向量，点$(x_0, y_0, z_0)$为基点。
4. 法平面方程：以切向量为法向量，利用点法式方程。

破题关键点：

• 正确求导：注意参数方程的导数计算，尤其是分式函数的导数。
• 方程化简：切线方程需统一分母，法平面方程需整理为标准形式。

1. 求点坐标

将$t_0=1$代入参数方程：

• $x_0 = \dfrac{1}{1+1} = \dfrac{1}{2}$
• $y_0 = \dfrac{1+1}{1} = 2$
• $z_0 = 1^2 = 1$

对应点为$M\left(\dfrac{1}{2}, 2, 1\right)$。

2. 求切向量

对$x(t), y(t), z(t)$分别求导：

• $\dfrac{dx}{dt} = \dfrac{1}{(1+t)^2}$，当$t=1$时，$\dfrac{dx}{dt}\bigg|_{t=1} = \dfrac{1}{4}$
• $\dfrac{dy}{dt} = -\dfrac{1}{t^2}$，当$t=1$时，$\dfrac{dy}{dt}\bigg|_{t=1} = -1$
• $\dfrac{dz}{dt} = 2t$，当$t=1$时，$\dfrac{dz}{dt}\bigg|_{t=1} = 2$

切向量为$\overrightarrow{T} = \left\{\dfrac{1}{4}, -1, 2\right\}$。

3. 切线方程

利用点向式方程：
$\dfrac{x - \dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{y - 2}{-1} = \dfrac{z - 1}{2}$
统一分母后化简为：
$\dfrac{x - \dfrac{1}{2}}{1} = \dfrac{y - 2}{-4} = \dfrac{z - 1}{8}$

4. 法平面方程

以切向量为法向量，方程为：
$\dfrac{1}{4}(x - \dfrac{1}{2}) - (y - 2) + 2(z - 1) = 0$
整理后得：
$2x - 8y + 16z - 1 = 0$