设 (x+dfrac (1)(x))=dfrac ({x)^2}({x)^4+1}(xneq 0), 求f(x)。

考查要点：本题主要考查函数的复合关系及代数变形能力，需要将给定的复合函数表达式转化为关于新变量的函数，并确定其定义域。

解题核心思路：

1. 变量替换：设 $t = x + \dfrac{1}{x}$，将原式中的 $x$ 用 $t$ 表示。
2. 代数变形：通过平方运算将 $t$ 与 $x^2 + \dfrac{1}{x^2}$ 联系起来，进而将原式转化为关于 $t$ 的表达式。
3. 定义域分析：利用不等式确定 $t$ 的取值范围，从而得到 $f(x)$ 的定义域。

破题关键点：

• 关键变形：发现 $x^4 + 1 = x^2 \left(x^2 + \dfrac{1}{x^2}\right)$，并结合 $t^2 = x^2 + \dfrac{1}{x^2} + 2$。
• 定义域推导：通过均值不等式确定 $t$ 的取值范围。

步骤1：变量替换
设 $t = x + \dfrac{1}{x}$，则原式变为 $f(t) = \dfrac{x^2}{x^4 + 1}$。

步骤2：化简分母
将分母 $x^4 + 1$ 变形为：
$x^4 + 1 = x^2 \cdot x^2 + 1 = x^2 \left(x^2 + \dfrac{1}{x^2}\right).$
因此，原式可化简为：
$f(t) = \dfrac{x^2}{x^2 \left(x^2 + \dfrac{1}{x^2}\right)} = \dfrac{1}{x^2 + \dfrac{1}{x^2}}.$

步骤3：关联变量 $t$
由 $t = x + \dfrac{1}{x}$，平方得：
$t^2 = \left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 + \dfrac{1}{x^2} \implies x^2 + \dfrac{1}{x^2} = t^2 - 2.$
代入化简后的表达式：
$f(t) = \dfrac{1}{t^2 - 2}.$

步骤4：确定定义域
当 $x > 0$ 时，由均值不等式 $x + \dfrac{1}{x} \geq 2$，当且仅当 $x = 1$ 时取等号；
当 $x < 0$ 时，令 $y = -x > 0$，则 $x + \dfrac{1}{x} = -\left(y + \dfrac{1}{y}\right) \leq -2$，当且仅当 $y = 1$（即 $x = -1$）时取等号。
因此，$t \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$，即 $f(x)$ 的定义域为 $x \in (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$。