题目
设 (x+dfrac (1)(x))=dfrac ({x)^2}({x)^4+1}(xneq 0), 求f(x)。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定函数的定义域
由于 $x+\dfrac{1}{x}$ 的定义域为 $x\neq 0$，我们需要确定 $x+\dfrac{1}{x}$ 的取值范围。当 $x>0$ 时，$x+\dfrac{1}{x}\geq 2$，当 $x<0$ 时，$x+\dfrac{1}{x}\leq -2$。因此，$x+\dfrac{1}{x}$ 的取值范围为 $(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$。
步骤 2：将 $x+\dfrac{1}{x}$ 用 $t$ 表示
设 $t=x+\dfrac{1}{x}$，则 $t\in (-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$。我们需要将 $f(x+\dfrac{1}{x})$ 转化为 $f(t)$ 的形式。
步骤 3：将 $f(x+\dfrac{1}{x})$ 转化为 $f(t)$
由于 $t=x+\dfrac{1}{x}$，则 $x^2+\dfrac{1}{x^2}=t^2-2$。因此，$f(t)=\dfrac{x^2}{x^4+1}=\dfrac{x^2}{x^2(x^2+\dfrac{1}{x^2})}=\dfrac{1}{x^2+\dfrac{1}{x^2}}=\dfrac{1}{t^2-2}$。
由于 $x+\dfrac{1}{x}$ 的定义域为 $x\neq 0$，我们需要确定 $x+\dfrac{1}{x}$ 的取值范围。当 $x>0$ 时，$x+\dfrac{1}{x}\geq 2$，当 $x<0$ 时，$x+\dfrac{1}{x}\leq -2$。因此，$x+\dfrac{1}{x}$ 的取值范围为 $(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$。
步骤 2：将 $x+\dfrac{1}{x}$ 用 $t$ 表示
设 $t=x+\dfrac{1}{x}$，则 $t\in (-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$。我们需要将 $f(x+\dfrac{1}{x})$ 转化为 $f(t)$ 的形式。
步骤 3：将 $f(x+\dfrac{1}{x})$ 转化为 $f(t)$
由于 $t=x+\dfrac{1}{x}$，则 $x^2+\dfrac{1}{x^2}=t^2-2$。因此，$f(t)=\dfrac{x^2}{x^4+1}=\dfrac{x^2}{x^2(x^2+\dfrac{1}{x^2})}=\dfrac{1}{x^2+\dfrac{1}{x^2}}=\dfrac{1}{t^2-2}$。