五、(本题满分10分)设曲线积分(int )_(L)x(y)^2dx+yf(x)dy与路径无关,其中(int )_(L)x(y)^2dx+yf(x)dy具有连续导数,且(int )_(L)x(y)^2dx+yf(x)dy求(int )_(L)x(y)^2dx+yf(x)dy的表达式并计算(int )_(L)x(y)^2dx+yf(x)dy的值.

考查要点：本题主要考查曲线积分与路径无关的条件及其应用，涉及全微分形式的保守场判断、势函数的求解以及定积分的计算。

解题核心思路：

1. 利用曲线积分与路径无关的条件，即偏导数关系 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$，建立微分方程求解 $f(x)$。
2. 求解势函数，通过计算两端点的势函数值差直接得到积分结果，避免复杂路径积分。

破题关键点：

• 正确写出偏导数表达式，并消去公共变量 $y$，得到关于 $f'(x)$ 的方程。
• 结合初始条件 $f(0)=0$ 确定积分常数。
• 构造势函数时，注意积分过程中的常数项处理。

步骤1：确定偏导数关系

设曲线积分 $\int_L xy^2 dx + yf(x) dy$ 与路径无关，根据条件 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$，其中：

• $P(x,y) = xy^2$
• $Q(x,y) = yf(x)$

计算偏导数：
$\frac{\partial P}{\partial y} = 2xy, \quad \frac{\partial Q}{\partial x} = yf'(x)$

步骤2：建立微分方程

由 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ 得：
$2xy = yf'(x)$
消去 $y$（假设 $y \neq 0$）：
$f'(x) = 2x$

步骤3：求解 $f(x)$

积分得：
$f(x) = \int 2x dx = x^2 + C$
利用初始条件 $f(0) = 0$：
$0 = 0^2 + C \implies C = 0$
因此：
$f(x) = x^2$

步骤4：计算定积分

积分与路径无关，可任选路径。构造势函数 $U(x,y)$ 满足：
$\frac{\partial U}{\partial x} = xy^2, \quad \frac{\partial U}{\partial y} = x^2y$
对 $x$ 积分第一个方程：
$U = \int xy^2 dx = \frac{1}{2}x^2y^2 + \phi(y)$
对 $y$ 求导并与第二个方程对比：
$\frac{\partial U}{\partial y} = x^2y + \phi'(y) = x^2y \implies \phi'(y) = 0 \implies \phi(y) = C$
取 $C=0$，得势函数：
$U(x,y) = \frac{1}{2}x^2y^2$
积分值为：
$U(2,1) - U(0,0) = \frac{1}{2}(2)^2(1)^2 - 0 = 2$