12.计算下列n阶行列式.-|||-a 1-|||-(2) 其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是0;-|||-1 a

步骤 1：定义行列式
给定的行列式是一个n阶行列式，其中对角线上的元素都是a，而对角线以外的元素都是0，除了第一行和第一列的元素是1。因此，行列式可以表示为：
$$
D_n = \begin{vmatrix}
a & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
1 & a & 1 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & a & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & a
\end{vmatrix}
$$

步骤 2：使用行列式的性质
为了计算这个行列式，我们可以使用行列式的性质，特别是行列式的展开定理。我们可以通过第一行展开行列式，得到：
$$
D_n = a \cdot D_{n-1} - 1 \cdot D_{n-2}
$$
其中，$D_{n-1}$是去掉第一行和第一列后得到的$(n-1)$阶行列式，$D_{n-2}$是去掉第一行和第二列后得到的$(n-2)$阶行列式。

步骤 3：递推关系
根据上面的递推关系，我们可以得到：
$$
D_n = a \cdot D_{n-1} - D_{n-2}
$$
我们需要找到这个递推关系的初始条件。当$n=1$时，行列式为$a$，即$D_1 = a$。当$n=2$时，行列式为：
$$
D_2 = \begin{vmatrix}
a & 1 \\
1 & a
\end{vmatrix} = a^2 - 1
$$
因此，$D_2 = a^2 - 1$。

步骤 4：求解递推关系
根据递推关系$D_n = a \cdot D_{n-1} - D_{n-2}$，我们可以求解这个递推关系。通过观察，我们可以发现：
$$
D_n = a^{n-2} (a^2 - 1)
$$
这个结果可以通过数学归纳法证明。