(int )_(1)^(e^2)dfrac (ln x)(sqrt {x)}dx= __

步骤 1：使用分部积分法
分部积分法公式为：${\int }_{a}^{b}u\left(x\right)v'\left(x\right)dx={\left[u\left(x\right)v\left(x\right)\right]}_{a}^{b}-{\int }_{a}^{b}u'\left(x\right)v\left(x\right)dx$。这里，我们选择$u\left(x\right)=\ln x$和$v'\left(x\right)=\dfrac {1}{\sqrt {x}}$，则$u'\left(x\right)=\dfrac {1}{x}$和$v\left(x\right)=2\sqrt {x}$。
步骤 2：应用分部积分法
将$u\left(x\right)$、$v\left(x\right)$、$u'\left(x\right)$和$v'\left(x\right)$代入分部积分法公式，得到${\int }_{1}^{{e}^{2}}\dfrac {\ln x}{\sqrt {x}}dx={\left[2\sqrt {x}\ln x\right]}_{1}^{{e}^{2}}-{\int }_{1}^{{e}^{2}}\dfrac {2\sqrt {x}}{x}dx$。
步骤 3：计算积分
计算${\int }_{1}^{{e}^{2}}\dfrac {2\sqrt {x}}{x}dx$，得到${\int }_{1}^{{e}^{2}}\dfrac {2\sqrt {x}}{x}dx={\int }_{1}^{{e}^{2}}\dfrac {2}{\sqrt {x}}dx=4\sqrt {x}{|}_{1}^{{e}^{2}}=4\sqrt {{e}^{2}}-4\sqrt {1}=4e-4$。
步骤 4：计算最终结果
将步骤2和步骤3的结果代入，得到${\int }_{1}^{{e}^{2}}\dfrac {\ln x}{\sqrt {x}}dx={\left[2\sqrt {x}\ln x\right]}_{1}^{{e}^{2}}-{\int }_{1}^{{e}^{2}}\dfrac {2\sqrt {x}}{x}dx=2\sqrt {{e}^{2}}\ln {e}^{2}-2\sqrt {1}\ln 1-4e+4=4e-4e+4=4$。