(int )_(1)^(e^2)dfrac (ln x)(sqrt {x)}dx= __

考查要点：本题主要考查分部积分法的应用，以及对对数函数与幂函数乘积积分的处理能力。

解题核心思路：
被积函数为$\dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}$，属于$\ln x$与$x^{-1/2}$的乘积形式。分部积分法是关键解法，需合理选择$u$和$dv$，通常让$u = \ln x$（易求导），$dv = x^{-1/2}dx$（易积分）。

破题关键点：

1. 正确应用分部积分公式，将原积分转化为更简单的积分形式。
2. 注意积分上下限的代入，避免计算错误。
3. 化简中间步骤，特别是对代数表达式的简化。

分部积分法步骤：

1. 设$u$和$dv$：

   • $u = \ln x \quad \Rightarrow \quad du = \dfrac{1}{x}dx$
   • $dv = \dfrac{1}{\sqrt{x}}dx = x^{-1/2}dx \quad \Rightarrow \quad v = 2\sqrt{x}$

2. 应用分部积分公式：
   $\int u \, dv = uv - \int v \, du$
   代入得：
   $\int_{1}^{e^2} \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}dx = \left. 2\sqrt{x} \cdot \ln x \right|_{1}^{e^2} - \int_{1}^{e^2} 2\sqrt{x} \cdot \dfrac{1}{x}dx$

3. 计算第一项：

   • 上限$x = e^2$时：$2\sqrt{e^2} \cdot \ln e^2 = 2e \cdot 2 = 4e$
   • 下限$x = 1$时：$2\sqrt{1} \cdot \ln 1 = 2 \cdot 0 = 0$
   • 因此，第一项结果为$4e - 0 = 4e$

4. 化简第二项积分：
   $\int_{1}^{e^2} 2\sqrt{x} \cdot \dfrac{1}{x}dx = \int_{1}^{e^2} 2x^{-1/2}dx = 2 \cdot 2\sqrt{x} \Big|_{1}^{e^2} = 4\sqrt{x} \Big|_{1}^{e^2}$
   代入上下限：

   • 上限$x = e^2$时：$4\sqrt{e^2} = 4e$
   • 下限$x = 1$时：$4\sqrt{1} = 4$
   • 因此，第二项结果为$4e - 4$

5. 合并结果：
   $4e - (4e - 4) = 4$