题目

设随机变量X,Y满足P(XY=0) =1,并且分布律分别为X -1 0 2 Y 0 1-|||-P dfrac (1)(6) dfrac (1)(3) dfrac (1)(2) P dfrac (2)(3) dfrac (1)(3)求:(1)二维随机变量(X,Y)的分布律; (2)Z=XY的分布律; (3)Cov(X,Y)。

设随机变量X,Y满足P{XY=0} =1,并且分布律分别为

$\begin{array}{c|ccc}X&-1&0&2\\\hline P&\frac{1}{6}&\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{array}\quad\begin{array}{c|cc}Y&0&1\\\hline P&\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{array}$

求:(1)二维随机变量(X,Y)的分布律;

(2)Z=XY的分布律;

(3)Cov(X,Y)。

题目解答

答案

（1）因为 P{XY = 0} = 1 ，所以 XY 只能为 0 。结合 X 和 Y 各自的取值和概率来确定联合分布律。

（2）根据 Z = XY 的定义和 X、Y 的取值，计算 Z 的可能取值及对应的概率。

（3）先计算 E(X) 、 E(Y) 、 E(XY) ，再通过协方差公式 Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) 求出协方差。

（1）因为 P{XY = 0} = 1 ，所以只有 X = 0 或 Y = 0 时概率不为 0 ，可得：

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline & Y = 0 & Y = 1 \\ \hline X = -1 & \frac{1}{6} & 0 \\ \hline X = 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ \hline X = 2 & \frac{1}{6} & 0 \\ \hline \end{array}$

（2） Z = XY ，可能取值为 0 、 -1 、 2 。

P(Z = 0) = P(X = 0或Y = 0) = $\frac{1}{6} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3}$

P(Z = -1) = P(X = -1, Y = 1) = 0

P(Z = 2) = P(X = 2, Y = 1) = 0

所以 Z 的分布律为：

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline Z & 0 & -1 & 2 \\ \hline P & \frac{2}{3} & 0 & 0 \\ \hline \end{array}$

（3） $E(X) = -1×\frac{1}{6} + 0×\frac{1}{3} + 2×\frac{1}{2} = \frac{5}{6}$

$E(Y) = 0×\frac{2}{3} + 1×\frac{1}{3} = \frac{1}{3}$

因为 XY 只可能为 0 ，所以 E(XY) = 0

$Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 0 - \frac{5}{6}×\frac{1}{3} = -\frac{5}{18}$

解析

步骤 1：确定二维随机变量(X,Y)的分布律
由于 P{XY = 0} = 1，所以 X 和 Y 的乘积只能为 0。这意味着 X 和 Y 中至少有一个为 0。根据 X 和 Y 的分布律，我们可以确定联合分布律。
步骤 2：计算Z=XY的分布律
根据 Z = XY 的定义，计算 Z 的可能取值及对应的概率。
步骤 3：计算Cov(X,Y)
先计算 E(X) 、 E(Y) 、 E(XY) ，再通过协方差公式 Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) 求出协方差。