(10) lim _(xarrow 0)dfrac (tan x-sin x)({x)^3};

步骤 1：使用泰勒展开式
首先，我们使用泰勒展开式来近似 $\tan x$ 和 $\sin x$。当 $x$ 接近 $0$ 时，我们有：
$$
\tan x = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)
$$
$$
\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)
$$
步骤 2：代入泰勒展开式
将上述泰勒展开式代入原极限表达式中，我们得到：
$$
\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\tan x-\sin x}{{x}^{3}} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\left(x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)\right) - \left(x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)\right)}{{x}^{3}}
$$
步骤 3：化简表达式
化简上述表达式，我们得到：
$$
\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\tan x-\sin x}{{x}^{3}} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\frac{x^3}{3} + \frac{x^3}{6} + O(x^5)}{{x}^{3}} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\frac{x^3}{2} + O(x^5)}{{x}^{3}}
$$
步骤 4：计算极限
由于 $O(x^5)$ 在 $x$ 接近 $0$ 时趋于 $0$，我们得到：
$$
\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\tan x-\sin x}{{x}^{3}} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\frac{x^3}{2}}{{x}^{3}} = \frac{1}{2}
$$