(10) lim _(xarrow 0)dfrac (tan x-sin x)({x)^3};

考查要点：本题主要考查极限的计算方法，特别是处理$\dfrac{0}{0}$型不定式的能力，以及对三角函数泰勒展开或等价无穷小替换的应用。

解题核心思路：

1. 泰勒展开法：将$\tan x$和$\sin x$在$x=0$处展开至$x^3$项，直接计算分子的差，化简后与分母$x^3$相除。
2. 洛必达法则：通过多次对分子分母求导，逐步消除分母中的高阶项，最终求得极限值。

破题关键点：

• 泰勒展开法的关键是正确展开$\tan x$和$\sin x$到足够高的阶数，确保分子中的$x^3$项不被遗漏。
• 洛必达法则需注意多次求导后表达式的化简，避免计算错误。

方法一：泰勒展开法

1. 展开$\tan x$和$\sin x$：

   • $\tan x = x + \dfrac{x^3}{3} + o(x^3)$
   • $\sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + o(x^3)$

2. 计算分子差：
   $\tan x - \sin x = \left(x + \dfrac{x^3}{3}\right) - \left(x - \dfrac{x^3}{6}\right) = \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^3}{6} = \dfrac{x^3}{2} + o(x^3)$

3. 代入原式化简：
   $\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x - \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{x^3}{2} + o(x^3)}{x^3} = \dfrac{1}{2}$

方法二：洛必达法则

1. 第一次应用洛必达法则：
   $\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x - \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sec^2 x - \cos x}{3x^2}$

2. 第二次应用洛必达法则：
   $\lim_{x \to 0} \dfrac{2\sec^2 x \tan x + \sin x}{6x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{2(1 + x^2) \cdot x + x}{6x} = \dfrac{1}{2}$