题目
计算下列行列式:-|||-1 +a1 1 1 1-|||-1 1 + a2 1 ......1-|||-_(n)= 1 1 https:/img.zuoyebang.cc/zyb_15bc16ffa83191fb234d7f1ea1503229.jpg+(a)_(3) 1 (其中 _(i)neq 0,i=1,2,... ,n).-|||-: :-|||-1 1 1 https:/img.zuoyebang.cc/zyb_15bc16ffa83191fb234d7f1ea1503229.jpg+(a)_(n)
题目解答
答案
解析
步骤 1：行列式的基本性质
行列式的基本性质之一是，如果将行列式中的某一行（或列）乘以一个常数，然后加到另一行（或列）上，行列式的值不变。利用这个性质，我们可以对行列式进行简化。
步骤 2：简化行列式
首先，将行列式的第1行乘以$-\frac{1}{a_1}$，然后加到第2行，第3行，...，第n行上。这样，第2行到第n行的第1列元素都变为0。接下来，将第2行乘以$-\frac{1}{a_2}$，然后加到第3行，第4行，...，第n行上。这样，第3行到第n行的第2列元素都变为0。以此类推，直到第n行的第n-1列元素变为0。这样，行列式就变成了一个上三角行列式。
步骤 3：计算行列式的值
上三角行列式的值等于主对角线上元素的乘积。因此，行列式的值为$(1+a_1)(1+a_2)\cdots(1+a_n)$。但是，由于我们在简化行列式的过程中，对每一行都进行了乘以$-\frac{1}{a_i}$的操作，所以需要将这些操作的影响考虑进去。因此，行列式的值为$(1+a_1)(1+a_2)\cdots(1+a_n)\times\frac{1}{a_1}\times\frac{1}{a_2}\times\cdots\times\frac{1}{a_n}$。简化后，得到$(1+\frac{1}{a_1})(1+\frac{1}{a_2})\cdots(1+\frac{1}{a_n})\times a_1a_2\cdots a_n$。进一步简化，得到$(\sum_{i=1}^{n}a_i)(1+\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i})$。
行列式的基本性质之一是，如果将行列式中的某一行（或列）乘以一个常数，然后加到另一行（或列）上，行列式的值不变。利用这个性质，我们可以对行列式进行简化。
步骤 2：简化行列式
首先，将行列式的第1行乘以$-\frac{1}{a_1}$，然后加到第2行，第3行，...，第n行上。这样，第2行到第n行的第1列元素都变为0。接下来，将第2行乘以$-\frac{1}{a_2}$，然后加到第3行，第4行，...，第n行上。这样，第3行到第n行的第2列元素都变为0。以此类推，直到第n行的第n-1列元素变为0。这样，行列式就变成了一个上三角行列式。
步骤 3：计算行列式的值
上三角行列式的值等于主对角线上元素的乘积。因此，行列式的值为$(1+a_1)(1+a_2)\cdots(1+a_n)$。但是，由于我们在简化行列式的过程中，对每一行都进行了乘以$-\frac{1}{a_i}$的操作，所以需要将这些操作的影响考虑进去。因此，行列式的值为$(1+a_1)(1+a_2)\cdots(1+a_n)\times\frac{1}{a_1}\times\frac{1}{a_2}\times\cdots\times\frac{1}{a_n}$。简化后，得到$(1+\frac{1}{a_1})(1+\frac{1}{a_2})\cdots(1+\frac{1}{a_n})\times a_1a_2\cdots a_n$。进一步简化，得到$(\sum_{i=1}^{n}a_i)(1+\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i})$。