5.函数 y= ) x+1,xgt 0 sin x,xleqslant 0 . 的间断点是 __

步骤 1：确定函数的定义域
函数 y= $\left \{ \begin{matrix} x+1,x\gt 0\\ \sin x,x\leqslant 0\end{matrix} \right.$ 在 x > 0 时定义为 y = x + 1，在 x ≤ 0 时定义为 y = sin x。因此，函数在整个实数域上都有定义。

步骤 2：检查函数在 x = 0 处的连续性
为了确定函数在 x = 0 处是否连续，我们需要检查函数在该点的左极限、右极限和函数值是否相等。
- 左极限：当 x 从左侧接近 0 时，函数值为 sin x，因此左极限为 sin 0 = 0。
- 右极限：当 x 从右侧接近 0 时，函数值为 x + 1，因此右极限为 0 + 1 = 1。
- 函数值：当 x = 0 时，函数值为 sin 0 = 0。

由于左极限和函数值相等，但右极限不等于左极限和函数值，因此函数在 x = 0 处不连续，即存在间断点。

步骤 3：确定间断点
根据步骤 2 的分析，函数在 x = 0 处存在间断点。