5.函数 y= ) x+1,xgt 0 sin x,xleqslant 0 . 的间断点是 __

考查要点：本题主要考查分段函数在分段点处的连续性判断，需要掌握函数连续的定义及左右极限的计算方法。

解题核心思路：

1. 判断函数在分段点处是否有定义；
2. 分别计算左极限和右极限；
3. 比较左右极限是否相等，且是否等于函数值。

破题关键点：

• 分段点x=0处的函数值为$\sin 0 = 0$；
• 左极限（x→0⁻）对应$x \leq 0$时的表达式$\sin x$，结果为$0$；
• 右极限（x→0⁺）对应$x > 0$时的表达式$x+1$，结果为$1$；
• 左右极限不相等，因此函数在$x=0$处不连续，存在间断点。

步骤1：判断函数在x=0处的定义
当$x \leq 0$时，函数为$\sin x$，因此当$x=0$时，$y = \sin 0 = 0$，函数在$x=0$处有定义。

步骤2：计算左极限（x→0⁻）
当$x$从左侧趋近于$0$时，$x \leq 0$，函数表达式为$\sin x$，因此：
$\lim_{x \to 0^-} \sin x = \sin 0 = 0$

步骤3：计算右极限（x→0⁺）
当$x$从右侧趋近于$0$时，$x > 0$，函数表达式为$x+1$，因此：
$\lim_{x \to 0^+} (x+1) = 0 + 1 = 1$

步骤4：判断连续性

• 左极限为$0$，右极限为$1$，左右极限不相等；
• 即使函数在$x=0$处有定义（值为$0$），但极限不存在，因此函数在$x=0$处不连续。

结论：函数的间断点为$x=0$。