设有来自三个地区的10名、15名、25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3份、7份、5份. 随机地取一个地区的报名表,从中先后抽取两份.(1)求先抽到的一份是女生表的概率;(2)已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的是女生表的概率.

考查要点：本题主要考查全概率公式和贝叶斯公式的应用，涉及分层抽样和条件概率的计算。

解题思路：

1. 第（1）题：通过分层抽样，每个地区被选中的概率均为$\dfrac{1}{3}$，再结合各地区女生比例，利用全概率公式求和。
2. 第（2）题：已知第二次抽到男生，求第一次抽到女生的条件概率。需先计算联合概率$P(A \cap B)$和边缘概率$P(B)$，再通过贝叶斯公式求解。

破题关键：

• 分层处理：将问题拆解到三个地区分别计算。
• 不放回抽样：注意抽取后剩余数量的变化对概率的影响。

第（1）题

步骤1：确定各地区女生比例

• 地区1：女生$\dfrac{3}{10}$
• 地区2：女生$\dfrac{7}{15}$
• 地区3：女生$\dfrac{5}{25}$

步骤2：计算全概率
每个地区被选中的概率为$\dfrac{1}{3}$，总概率为：
$P = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{10} + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{7}{15} + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{5}{25} = \dfrac{29}{90}$

第（2）题

步骤1：计算联合概率$P(A \cap B)$
对每个地区，先抽女生再抽男生的概率：

• 地区1：$\dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{7}{9} = \dfrac{7}{30}$
• 地区2：$\dfrac{7}{15} \cdot \dfrac{8}{14} = \dfrac{4}{15}$
• 地区3：$\dfrac{5}{25} \cdot \dfrac{20}{24} = \dfrac{1}{6}$
  总概率：
  $P(A \cap B) = \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{7}{30} + \dfrac{4}{15} + \dfrac{1}{6} \right) = \dfrac{2}{9}$

步骤2：计算边缘概率$P(B)$
对每个地区，第二次抽到男生的概率：

• 地区1：$\dfrac{7}{10}$
• 地区2：$\dfrac{8}{15}$
• 地区3：$\dfrac{20}{25}$
  总概率：
  $P(B) = \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{7}{10} + \dfrac{8}{15} + \dfrac{20}{25} \right) = \dfrac{61}{90}$

步骤3：应用贝叶斯公式
$P(A|B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{\dfrac{2}{9}}{\dfrac{61}{90}} = \dfrac{20}{61}$