题目
[题目]线性代数证明题-|||-证明题:设α1,α2,......αm是齐次线性方程组 Ax=0-|||-的基础解系,β是非齐次线性方程组 =b(bneq 0)-|||-的一个特解,证明向量组 alpha 1+beta , alpha 2+beta . ...... +beta , β-|||-线性无关
题目解答
答案
解析
步骤 1：假设线性相关
假设向量组 $\alpha 1+\beta $, $\alpha 2+\beta $, ..., $\alpha m+\beta $, $\beta $ 线性相关，即存在不全为零的数 $k_1, k_2, ..., k_m, k$ 使得
$$k_1(\alpha_1 + \beta) + k_2(\alpha_2 + \beta) + ... + k_m(\alpha_m + \beta) + k\beta = 0$$
步骤 2：展开并整理
将上式展开并整理，得到
$$k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + ... + k_m\alpha_m + (k_1 + k_2 + ... + k_m + k)\beta = 0$$
步骤 3：利用基础解系的性质
由于 $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_m$ 是齐次线性方程组 $Ax=0$ 的基础解系，故 $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_m$ 线性无关。因此，若上式成立，则必须有
$$k_1 = k_2 = ... = k_m = 0$$
步骤 4：考虑 $\beta$ 的系数
若 $k_1 = k_2 = ... = k_m = 0$，则上式变为
$$(k_1 + k_2 + ... + k_m + k)\beta = 0$$
由于 $\beta$ 是非齐次线性方程组 $Ax=b$ 的一个特解，且 $b \neq 0$，故 $\beta \neq 0$。因此，上式成立的唯一可能为
$$k_1 + k_2 + ... + k_m + k = 0$$
步骤 5：矛盾
由于 $k_1 = k_2 = ... = k_m = 0$，则上式变为 $k = 0$。这与假设 $k_1, k_2, ..., k_m, k$ 不全为零矛盾。因此，向量组 $\alpha 1+\beta $, $\alpha 2+\beta $, ..., $\alpha m+\beta $, $\beta $ 线性无关。
假设向量组 $\alpha 1+\beta $, $\alpha 2+\beta $, ..., $\alpha m+\beta $, $\beta $ 线性相关，即存在不全为零的数 $k_1, k_2, ..., k_m, k$ 使得
$$k_1(\alpha_1 + \beta) + k_2(\alpha_2 + \beta) + ... + k_m(\alpha_m + \beta) + k\beta = 0$$
步骤 2：展开并整理
将上式展开并整理，得到
$$k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + ... + k_m\alpha_m + (k_1 + k_2 + ... + k_m + k)\beta = 0$$
步骤 3：利用基础解系的性质
由于 $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_m$ 是齐次线性方程组 $Ax=0$ 的基础解系，故 $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_m$ 线性无关。因此，若上式成立，则必须有
$$k_1 = k_2 = ... = k_m = 0$$
步骤 4：考虑 $\beta$ 的系数
若 $k_1 = k_2 = ... = k_m = 0$，则上式变为
$$(k_1 + k_2 + ... + k_m + k)\beta = 0$$
由于 $\beta$ 是非齐次线性方程组 $Ax=b$ 的一个特解，且 $b \neq 0$，故 $\beta \neq 0$。因此，上式成立的唯一可能为
$$k_1 + k_2 + ... + k_m + k = 0$$
步骤 5：矛盾
由于 $k_1 = k_2 = ... = k_m = 0$，则上式变为 $k = 0$。这与假设 $k_1, k_2, ..., k_m, k$ 不全为零矛盾。因此，向量组 $\alpha 1+\beta $, $\alpha 2+\beta $, ..., $\alpha m+\beta $, $\beta $ 线性无关。