题目
求函数 (x)=x-dfrac (3)(2)(x)^2/3 的单调区间和极值.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求导数
对函数 $f(x)=x-\dfrac {3}{2}{x}^{2/3}$ 求导，得到 $f'(x)=1-\dfrac {2}{3}{x}^{-1/3}$ 。
步骤 2：确定导数为零的点
令 $f'(x)=0$ ，解得 $x=1$ 。当 $x=0$ 时，$f'(x)$ 不存在。
步骤 3：分析导数符号
- 当 $x \in (-\infty, 0)$ 时，$f'(x) > 0$ ，函数单调增加。
- 当 $x \in (0, 1)$ 时，$f'(x) < 0$ ，函数单调减少。
- 当 $x \in (1, +\infty)$ 时，$f'(x) > 0$ ，函数单调增加。
步骤 4：确定极值
- 在 $x=0$ 处，$f'(x)$ 不存在，但函数在 $x=0$ 处取得极大值 $f(0)=0$。
- 在 $x=1$ 处，$f'(x)=0$ ，函数在 $x=1$ 处取得极小值 $f(1)=-\dfrac {1}{2}$。
对函数 $f(x)=x-\dfrac {3}{2}{x}^{2/3}$ 求导，得到 $f'(x)=1-\dfrac {2}{3}{x}^{-1/3}$ 。
步骤 2：确定导数为零的点
令 $f'(x)=0$ ，解得 $x=1$ 。当 $x=0$ 时，$f'(x)$ 不存在。
步骤 3：分析导数符号
- 当 $x \in (-\infty, 0)$ 时，$f'(x) > 0$ ，函数单调增加。
- 当 $x \in (0, 1)$ 时，$f'(x) < 0$ ，函数单调减少。
- 当 $x \in (1, +\infty)$ 时，$f'(x) > 0$ ，函数单调增加。
步骤 4：确定极值
- 在 $x=0$ 处，$f'(x)$ 不存在，但函数在 $x=0$ 处取得极大值 $f(0)=0$。
- 在 $x=1$ 处，$f'(x)=0$ ，函数在 $x=1$ 处取得极小值 $f(1)=-\dfrac {1}{2}$。