题目
曲线 ,dfrac {1)(9),-dfrac (1)(27)) .-|||-(C) (dfrac (1)(3),dfrac (1)(9),dfrac (1)(27)) (D) (-3,9,-27) .
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算曲线在点M处的切线方向向量
给定曲线 $\left \{ \begin{matrix} x=t,\\ y={t}^{2}\\ z={t}^{3}\end{matrix} \right.$ ，我们首先计算其在点M处的切线方向向量。这可以通过计算参数t的导数来实现。对于x，y，z，我们有：
- $\dfrac {dx}{dt}=1$
- $\dfrac {dy}{dt}=2t$
- $\dfrac {dz}{dt}=3{t}^{2}$
因此，切线方向向量为 $s=(1,2t,3{t}^{2})$。
步骤 2：确定平面的法向量
给定平面方程 x+2y+z=4，其法向量为 n=(1,2,1)。
步骤 3：切线方向向量与平面法向量的点积
由于切线平行于平面，切线方向向量与平面法向量的点积应为0。即：
$s\cdot n=0$
代入向量s和n的值，我们得到：
$1+4t+3{t}^{2}=0$
步骤 4：求解方程
解方程 $1+4t+3{t}^{2}=0$，得到：
$t=-1$ 或 $t=-\dfrac {1}{3}$
步骤 5：计算点M的坐标
当 $t=-1$ 时，$x=-1$，$y=1$，$z=-1$；
当 $t=-\dfrac {1}{3}$ 时，$x=-\dfrac {1}{3}$，$y=\dfrac {1}{9}$，$z=-\dfrac {1}{27}$。
因此，点M的坐标可以是 $(-\dfrac {1}{3},\dfrac {1}{9},-\dfrac {1}{27})$ 或 (-1,1,-1)。
给定曲线 $\left \{ \begin{matrix} x=t,\\ y={t}^{2}\\ z={t}^{3}\end{matrix} \right.$ ，我们首先计算其在点M处的切线方向向量。这可以通过计算参数t的导数来实现。对于x，y，z，我们有：
- $\dfrac {dx}{dt}=1$
- $\dfrac {dy}{dt}=2t$
- $\dfrac {dz}{dt}=3{t}^{2}$
因此，切线方向向量为 $s=(1,2t,3{t}^{2})$。
步骤 2：确定平面的法向量
给定平面方程 x+2y+z=4，其法向量为 n=(1,2,1)。
步骤 3：切线方向向量与平面法向量的点积
由于切线平行于平面，切线方向向量与平面法向量的点积应为0。即：
$s\cdot n=0$
代入向量s和n的值，我们得到：
$1+4t+3{t}^{2}=0$
步骤 4：求解方程
解方程 $1+4t+3{t}^{2}=0$，得到：
$t=-1$ 或 $t=-\dfrac {1}{3}$
步骤 5：计算点M的坐标
当 $t=-1$ 时，$x=-1$，$y=1$，$z=-1$；
当 $t=-\dfrac {1}{3}$ 时，$x=-\dfrac {1}{3}$，$y=\dfrac {1}{9}$，$z=-\dfrac {1}{27}$。
因此，点M的坐标可以是 $(-\dfrac {1}{3},\dfrac {1}{9},-\dfrac {1}{27})$ 或 (-1,1,-1)。