题目

在区间(-1,1)内随机地取两个数,求这两个数差的绝对值小于0.5的概率

题目解答

答案

解：概率为： $\frac{1}{4}$

解析：

已知在区间(−1,1)内随机地取两个数。

设这两个数分别为x和y。

那么，x和y的所有可能取值构成了一个边长为2的正方形区域，其面积为2×2=4。

接下来，考虑这两个数差的绝对值小于0.5的条件。

这可以表示为：∣x−y∣<0.5。

这个不等式可以拆分为两个不等式：

x−y<0.5

y−x<0.5

或者写作：

y>x−0.5

y<x+0.5

在直角坐标系中，这两个不等式定义了一个平行于坐标轴的区域，该区域与原来的正方形区域有交集。

这个交集是一个平行四边形，其底和高都是1（因为当x从-1变化到1时，y的变化范围是x−0.5到x+0.5，但由于y的取值范围也是(-1,1)，所以实际的变化范围会被限制在(-1,1)内）。

所以，平行四边形的面积是1。

最后，根据几何概型的概率计算公式，所求概率为：

$\begin{aligned}&P=\frac{\text{平行四边形的面积}}{\text{正方形的面积}}=\frac{1}{4}\\&\text{故答案是:}\frac14\text{。}\end{aligned}$

解析

步骤 1：定义问题
在区间(-1,1)内随机地取两个数x和y，求这两个数差的绝对值小于0.5的概率。
步骤 2：确定样本空间
x和y的所有可能取值构成了一个边长为2的正方形区域，其面积为2×2=4。
步骤 3：确定事件区域
考虑这两个数差的绝对值小于0.5的条件，即| x - y | < 0.5。这个不等式可以拆分为两个不等式：x - y < 0.5 和 y - x < 0.5。在直角坐标系中，这两个不等式定义了一个平行于坐标轴的区域，该区域与原来的正方形区域有交集。这个交集是一个平行四边形，其底和高都是1。
步骤 4：计算概率
根据几何概型的概率计算公式，所求概率为平行四边形的面积除以正方形的面积，即1/4。