题目
10、曲面 =sqrt ({x)^2+(y)^2} 被 ^2+(y)^2=1 所截部分的-|||-面积为 () .-|||-(A)π;(B) √2π; (C)2π;(D) sqrt (2)pi .
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定曲面和截面
曲面 $z=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$ 是一个圆锥面，而 ${x}^{2}+{y}^{2}=1$ 是一个圆，表示在 $xy$ 平面上的单位圆。这两个方程的交集表示圆锥面在 $z=1$ 处的截面，即一个半径为1的圆。
步骤 2：计算曲面的面积
曲面的面积可以通过计算曲面的积分来得到。对于曲面 $z=f(x,y)$，其面积 $S$ 可以通过公式 $S=\iint_{D}\sqrt{1+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2}}\,dA$ 来计算，其中 $D$ 是 $xy$ 平面上的区域，$dA$ 是面积元素。
步骤 3：计算偏导数
对于 $z=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，我们有 $\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$。因此，$\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^{2}}=\sqrt{1+\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}}=\sqrt{2}$。
步骤 4：计算积分
由于 $D$ 是单位圆，我们可以使用极坐标来计算积分。在极坐标下，$dA=r\,dr\,d\theta$，因此 $S=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\sqrt{2}r\,dr\,d\theta=\sqrt{2}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}r\,dr\,d\theta=\sqrt{2}\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{2}\,d\theta=\sqrt{2}\pi$。
曲面 $z=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$ 是一个圆锥面，而 ${x}^{2}+{y}^{2}=1$ 是一个圆，表示在 $xy$ 平面上的单位圆。这两个方程的交集表示圆锥面在 $z=1$ 处的截面，即一个半径为1的圆。
步骤 2：计算曲面的面积
曲面的面积可以通过计算曲面的积分来得到。对于曲面 $z=f(x,y)$，其面积 $S$ 可以通过公式 $S=\iint_{D}\sqrt{1+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2}}\,dA$ 来计算，其中 $D$ 是 $xy$ 平面上的区域，$dA$ 是面积元素。
步骤 3：计算偏导数
对于 $z=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，我们有 $\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$。因此，$\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^{2}}=\sqrt{1+\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}}=\sqrt{2}$。
步骤 4：计算积分
由于 $D$ 是单位圆，我们可以使用极坐标来计算积分。在极坐标下，$dA=r\,dr\,d\theta$，因此 $S=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\sqrt{2}r\,dr\,d\theta=\sqrt{2}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}r\,dr\,d\theta=\sqrt{2}\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{2}\,d\theta=\sqrt{2}\pi$。