A 为 阶矩阵若方程组 解不唯一则 m < n ( )

考查要点：本题主要考查非齐次线性方程组解的唯一性条件，以及矩阵秩与解的关系。

解题核心思路：
非齐次方程组 $AX = B$ 解不唯一的充要条件是 系数矩阵 $A$ 的秩等于增广矩阵 $[A|B]$ 的秩，且均小于未知数的个数 $n$。此时方程组有无穷多解。但题目中将解不唯一直接与 $m < n$（行数小于列数）等同，需判断该结论是否必然成立。

破题关键点：

1. 秩的条件：解不唯一时，$r(A) = r([A|B]) < n$，但无法直接推导出 $m$ 与 $n$ 的大小关系。
2. 反例分析：即使 $m \geq n$，只要满足秩的条件，方程组仍可能有无穷解。因此，$m < n$ 并非必要条件。

已知条件：

• 矩阵 $A$ 为 $21 \times 24$ 阶（即 $m=21$，$n=24$）。
• 非齐次方程组 $AX = B \, (\neq 0)$ 解不唯一。

推导过程：

1. 解不唯一的条件：
   根据非齐次方程组解的理论，解不唯一当且仅当：
   $r(A) = r([A|B]) < n$
   此时方程组有无穷多解。

2. 秩与矩阵维度的关系：

   • 矩阵 $A$ 的秩 $r(A) \leq \min(m, n)$，即 $r(A) \leq 21$（因 $m=21$）。
   • 若 $r(A) = r([A|B]) < n = 24$，则 $r(A)$ 至多为 $21$，显然满足 $21 < 24$。
   • 但题目中将结论限定为 $m < n$，忽略了当 $m \geq n$ 时，只要 $r(A) < n$，方程组仍可能有无穷解的情况。

3. 结论判定：
   题目认为“解不唯一 $\Rightarrow m < n$”，但实际 $m < n$ 并非必要条件。因此，题目说法错误。