若lim _(xarrow 0)((dfrac {1+{e)^x}(2))}^cot x=-|||-__ ..

考查要点：本题主要考查变限指数函数的极限计算，涉及等价无穷小替换、泰勒展开以及自然对数的转换技巧。

解题核心思路：

1. 识别极限类型：题目属于“$1^{\infty}$”型不定式，需通过取自然对数转化为可处理的形式。
2. 简化表达式：利用泰勒展开或等价无穷小替换，将底数和指数部分展开，提取主要项。
3. 极限计算：结合展开后的表达式，计算对数后的极限，最后通过指数还原结果。

破题关键点：

• 底数部分：将$\dfrac{1+e^x}{2}$展开为$1+\dfrac{x}{2}+o(x)$。
• 指数部分：将$\cot x$近似为$\dfrac{1}{x}$（忽略高阶小项）。
• 结合公式：利用$\lim_{x \to 0}(1+kx)^{1/x}=e^k$直接得出结果。

步骤1：取自然对数
设原式为$L$，则$\ln L = \lim_{x \to 0} \cot x \cdot \ln\left(\dfrac{1+e^x}{2}\right)$。

步骤2：展开底数部分
当$x \to 0$时，$e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2} + o(x^2)$，因此：
$\dfrac{1+e^x}{2} = 1 + \dfrac{x}{2} + \dfrac{x^2}{4} + o(x^2).$
进一步展开对数：
$\ln\left(1 + \dfrac{x}{2} + \dfrac{x^2}{4}\right) \approx \dfrac{x}{2} + \dfrac{x^2}{8} + o(x^2).$

步骤3：近似指数部分
$\cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x} \approx \dfrac{1 - \dfrac{x^2}{2}}{x - \dfrac{x^3}{6}} \approx \dfrac{1}{x} - \dfrac{x}{3} + o(x)$，保留主项$\dfrac{1}{x}$。

步骤4：计算极限
将主项代入$\ln L$：
$\ln L \approx \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{1}{x} \cdot \dfrac{x}{2}\right) = \dfrac{1}{2}.$

步骤5：还原结果
因此，$L = e^{\ln L} = e^{\dfrac{1}{2}}$。