lim _(narrow infty )(sqrt ({n)^2+n}-n)=______

步骤 1：有理化分子
为了计算这个极限，我们首先需要有理化分子。我们可以通过乘以分子和分母的共轭来实现这一点。分子的共轭是 $\sqrt{n^2 + n} + n$。因此，我们有：
$$\lim _{n\rightarrow \infty }(\sqrt {{n}^{2}+n}-n) = \lim _{n\rightarrow \infty }\frac{(\sqrt {{n}^{2}+n}-n)(\sqrt {{n}^{2}+n}+n)}{\sqrt {{n}^{2}+n}+n}$$
步骤 2：简化表达式
分子可以简化为：
$$\lim _{n\rightarrow \infty }\frac{{n}^{2}+n-n^2}{\sqrt {{n}^{2}+n}+n} = \lim _{n\rightarrow \infty }\frac{n}{\sqrt {{n}^{2}+n}+n}$$
步骤 3：提取n的因子
为了进一步简化，我们可以提取分母中的n因子：
$$\lim _{n\rightarrow \infty }\frac{n}{n(\sqrt {1+\frac{1}{n}}+1)} = \lim _{n\rightarrow \infty }\frac{1}{\sqrt {1+\frac{1}{n}}+1}$$
步骤 4：计算极限
当$n$趋向于无穷大时，$\frac{1}{n}$趋向于0，因此：
$$\lim _{n\rightarrow \infty }\frac{1}{\sqrt {1+\frac{1}{n}}+1} = \frac{1}{\sqrt {1+0}+1} = \frac{1}{2}$$