lim _(narrow infty )(sqrt ({n)^2+n}-n)=______

考查要点：本题主要考查数列极限的计算，特别是处理根号与多项式相减的极限问题。关键在于通过有理化的方法简化表达式，从而找到极限值。

解题思路：当遇到形如$\sqrt{n^2 + an} - n$的极限时，通常通过分子有理化（乘以共轭表达式）将式子变形，消去根号，再结合无穷大时的近似化简，最终求得极限值。

破题关键：

1. 有理化：将原式乘以$\sqrt{n^2 + n} + n$，分子分母同乘，构造分式形式。
2. 化简分式：分子化简后为$n$，分母提取公因式$n$，进一步约分。
3. 极限运算：当$n \to \infty$时，$\sqrt{1 + \frac{1}{n}} \to 1$，代入即可得结果。

步骤1：分子有理化
原式为$\sqrt{n^2 + n} - n$，将其分子有理化：
$\begin{aligned}\sqrt{n^2 + n} - n &= \frac{(\sqrt{n^2 + n} - n)(\sqrt{n^2 + n} + n)}{\sqrt{n^2 + n} + n} \\&= \frac{(n^2 + n) - n^2}{\sqrt{n^2 + n} + n} \\&= \frac{n}{\sqrt{n^2 + n} + n}.\end{aligned}$

步骤2：化简分式
将分母中的$\sqrt{n^2 + n}$提取公因式$n$：
$\sqrt{n^2 + n} = n \sqrt{1 + \frac{1}{n}}.$
代入分式得：
$\frac{n}{n \sqrt{1 + \frac{1}{n}} + n} = \frac{n}{n \left( \sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1 \right)} = \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1}.$

步骤3：求极限
当$n \to \infty$时，$\frac{1}{n} \to 0$，因此：
$\sqrt{1 + \frac{1}{n}} \to \sqrt{1 + 0} = 1.$
代入分式得：
$\frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}.$