过点P(1,0)作抛物线y=sqrt(x-2)的切线，该切线与上述抛物线及x轴围成一平面图形，求此平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积.
过点$P\left(1,0\right)$作抛物线$y=\sqrt{x-2}$的切线，该切线与上述抛物线及$x$轴围成一平面图形，求此平面图形绕$x$轴旋转一周所成旋转体的体积.
题目解答
答案
【答案】
$\dfrac{15\mathrm{\pi }}{4}$
【解析】
设切点坐标为$({x}_{0},{y}_{0})$，则${y}_{0}=\sqrt{{x}_{0}-2}$,
$\because y=\sqrt{x-2}$,
$\therefore y'=\dfrac{1}{2\sqrt{x-2}}$,
$\therefore $切线方程为：
$y-{y}_{0}=\dfrac{1}{2\sqrt{{x}_{0}-2}}\left(x-{x}_{0}\right)$,
即：$y-\sqrt{{x}_{0}-2}=\dfrac{1}{2\sqrt{{x}_{0}-2}}\left(x-{x}_{0}\right)$,
而切线通过点$P\left(1,0\right)$,
$\therefore $代入到上面方程，解得：${x}_{0}=3$,
$\therefore $切点坐标为：$\left(3,1\right)$,
$\therefore $切线方程为：$y=\dfrac{1}{2}\left(x-1\right)$,
$\therefore $切线与抛物线及$x$轴围成一平面图形绕$x$轴旋转一周所成旋转体的体积
$V=\pi {\int }_{1}^{3}{\left[\dfrac{1}{2}\left(x-1\right)\right]}^{2}\mathrm{d}x-\pi {\int }_{2}^{3}{\left(\sqrt{x-2}\right)}^{2}\mathrm{d}x$
$=\pi {\left[\dfrac{1}{12}{x}^{3}-\dfrac{1}{4}{x}^{2}+x\right]}_{1}^{3}+\pi {\left[\dfrac{1}{2}{x}^{2}-2x\right]}_{2}^{3}$
$=\dfrac{15}{4}\pi $.
解析
设切点坐标为$({x}_{0},{y}_{0})$，则${y}_{0}=\sqrt{{x}_{0}-2}$。由于$y=\sqrt{x-2}$，则$y'=\dfrac{1}{2\sqrt{x-2}}$。因此，切线方程为$y-{y}_{0}=\dfrac{1}{2\sqrt{{x}_{0}-2}}\left(x-{x}_{0}\right)$。将点$P\left(1,0\right)$代入切线方程，解得${x}_{0}=3$，从而${y}_{0}=1$。因此，切点坐标为$\left(3,1\right)$。
步骤 2：求切线方程
由步骤1，切线方程为$y-\sqrt{{x}_{0}-2}=\dfrac{1}{2\sqrt{{x}_{0}-2}}\left(x-{x}_{0}\right)$，代入${x}_{0}=3$，${y}_{0}=1$，得到切线方程为$y=\dfrac{1}{2}\left(x-1\right)$。
步骤 3：计算旋转体体积
切线与抛物线及$x$轴围成的平面图形绕$x$轴旋转一周所成旋转体的体积$V$，可以通过计算两个旋转体体积之差得到。即$V=\pi {\int }_{1}^{3}{\left[\dfrac{1}{2}\left(x-1\right)\right]}^{2}\mathrm{d}x-\pi {\int }_{2}^{3}{\left(\sqrt{x-2}\right)}^{2}\mathrm{d}x$。计算得$V=\pi {\left[\dfrac{1}{12}{x}^{3}-\dfrac{1}{4}{x}^{2}+x\right]}_{1}^{3}+\pi {\left[\dfrac{1}{2}{x}^{2}-2x\right]}_{2}^{3}=\dfrac{15}{4}\pi $。