【例3】(李林6套卷)设f(x,y)有二阶连续偏导数，且满足f_(xx)''(x,y)=f_(yy)''(x,y)，f(x,2x)=x，f_(x)''(x,2x)=x^2，则f_(xx)''(x,2x)=（）.A. -(4)/(3)xB. (4x)/(3)C. -(5x)/(3)D. (5x)/(3)

考查要点：本题主要考查多元函数的偏导数计算，特别是沿特定曲线（如$y=2x$）的导数求解，以及利用给定的偏微分方程条件联立方程求解未知量。

解题核心思路：

1. 链式法则应用：对$f(x,2x)=x$求导，结合链式法则得到关于$f_x'$和$f_y'$的关系式。
2. 联立方程：利用已知条件$f_x'(x,2x)=x^2$，求出$f_y'(x,2x)$，再对$f_x'$和$f_y'$分别求导，结合$f_{xx}''=f_{yy}''$的条件建立方程组。
3. 代数求解：通过设未知量，解线性方程组得到$f_{xx}''(x,2x)$的值。

破题关键点：

• 沿曲线求导时注意链式法则的正确应用。
• 二阶导数关系的灵活转化，利用$f_{xx}''=f_{yy}''$减少未知量。

步骤1：对$f(x,2x)=x$求导

对等式$f(x,2x)=x$两边关于$x$求导，由链式法则得：
$f_x'(x,2x) + 2f_y'(x,2x) = 1.$
代入已知条件$f_x'(x,2x)=x^2$，解得：
$f_y'(x,2x) = \frac{1 - x^2}{2}.$

步骤2：对$f_x'(x,2x)$和$f_y'(x,2x)$求导

对$f_x'(x,2x)=x^2$再次求导，得：
$f_{xx}''(x,2x) + 2f_{xy}''(x,2x) = 2x.$
对$f_y'(x,2x)=\frac{1 - x^2}{2}$求导，得：
$f_{xy}''(x,2x) + 2f_{yy}''(x,2x) = -x.$

步骤3：利用$f_{xx}''=f_{yy}''$联立方程

设$f_{xx}''(x,2x)=A$，$f_{xy}''(x,2x)=B$，则$f_{yy}''(x,2x)=A$。代入上述方程：
$\begin{cases}A + 2B = 2x, \\B + 2A = -x.\end{cases}$
解得：
$A = -\frac{4x}{3}, \quad B = \frac{5x}{3}.$