题目
[题目]设两两相互独立的三事件A,B和c满足条-|||-件: =, (A)=P(B)=P(C)lt dfrac (1)(2), 且已知-|||-(Acup Bcup C)=dfrac (9)(16) ,则 P(A)= __ --
题目解答
答案
解析
步骤 1：应用概率加法公式
根据概率加法公式，对于三个事件A、B和C，有：
\[ P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC) \]
步骤 2：利用事件的独立性和已知条件
由于A、B、C两两相互独立，且 $ABC=\varnothing$，即三个事件同时发生的概率为0，因此有：
\[ P(AB) = P(A)P(B) \]
\[ P(AC) = P(A)P(C) \]
\[ P(BC) = P(B)P(C) \]
\[ P(ABC) = 0 \]
步骤 3：代入已知条件
由于 $P(A) = P(B) = P(C) = p$，代入上述公式，得到：
\[ P(A \cup B \cup C) = 3p - 3p^2 \]
已知 $P(A \cup B \cup C) = \dfrac{9}{16}$，因此有：
\[ 3p - 3p^2 = \dfrac{9}{16} \]
步骤 4：解方程
将方程整理为标准形式：
\[ 3p^2 - 3p + \dfrac{9}{16} = 0 \]
\[ 16p^2 - 16p + 3 = 0 \]
解这个二次方程，得到：
\[ p = \dfrac{1}{4} \text{ 或 } p = \dfrac{3}{4} \]
由于 $P(A) < \dfrac{1}{2}$，因此 $P(A) = \dfrac{1}{4}$。
根据概率加法公式，对于三个事件A、B和C，有：
\[ P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC) \]
步骤 2：利用事件的独立性和已知条件
由于A、B、C两两相互独立，且 $ABC=\varnothing$，即三个事件同时发生的概率为0，因此有：
\[ P(AB) = P(A)P(B) \]
\[ P(AC) = P(A)P(C) \]
\[ P(BC) = P(B)P(C) \]
\[ P(ABC) = 0 \]
步骤 3：代入已知条件
由于 $P(A) = P(B) = P(C) = p$，代入上述公式，得到：
\[ P(A \cup B \cup C) = 3p - 3p^2 \]
已知 $P(A \cup B \cup C) = \dfrac{9}{16}$，因此有：
\[ 3p - 3p^2 = \dfrac{9}{16} \]
步骤 4：解方程
将方程整理为标准形式：
\[ 3p^2 - 3p + \dfrac{9}{16} = 0 \]
\[ 16p^2 - 16p + 3 = 0 \]
解这个二次方程，得到：
\[ p = \dfrac{1}{4} \text{ 或 } p = \dfrac{3}{4} \]
由于 $P(A) < \dfrac{1}{2}$，因此 $P(A) = \dfrac{1}{4}$。