题目
13、填空 设sum是锥面z=sqrt(x^2)+y^(2)介于z=0与z=1之间的部分，则曲面积分iintlimits_(sum)(xy+yz+xz)dS=_____.
13、填空 设$\sum$是锥面$z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$介于z=0与z=1之间的部分，则曲面积分$\iint\limits_{\sum}(xy+yz+xz)dS=$_____.
题目解答
答案
曲面 $\sum$ 关于坐标面 $x=0$ 和 $y=0$ 均对称。被积函数中，$yz$ 关于 $y$ 是奇函数，$xz$ 关于 $x$ 是奇函数，因此在对称曲面上积分均为零。仅需计算 $\iint_{\sum} xy \, dS$。
使用极坐标，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$z = r$，$dS = \sqrt{2} r \, dr \, d\theta$。
积分变为：
\[
\iint_{\sum} xy \, dS = \sqrt{2} \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^3 \cos\theta \sin\theta \, dr \, d\theta = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{4} \int_0^{2\pi} \sin 2\theta \, d\theta = 0
\]
（因 $\int_0^{2\pi} \sin 2\theta \, d\theta = 0$）
**答案：** $\boxed{0}$
解析
步骤 1：分析曲面和被积函数的对称性
曲面 $\sum$ 关于坐标面 $x=0$ 和 $y=0$ 均对称。被积函数中，$yz$ 关于 $y$ 是奇函数，$xz$ 关于 $x$ 是奇函数，因此在对称曲面上积分均为零。仅需计算 $\iint_{\sum} xy \, dS$。
步骤 2：转换到极坐标系
使用极坐标，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$z = r$，$dS = \sqrt{2} r \, dr \, d\theta$。
步骤 3：计算曲面积分
积分变为： \[ \iint_{\sum} xy \, dS = \sqrt{2} \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^3 \cos\theta \sin\theta \, dr \, d\theta = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{4} \int_0^{2\pi} \sin 2\theta \, d\theta = 0 \] （因 $\int_0^{2\pi} \sin 2\theta \, d\theta = 0$）
曲面 $\sum$ 关于坐标面 $x=0$ 和 $y=0$ 均对称。被积函数中，$yz$ 关于 $y$ 是奇函数，$xz$ 关于 $x$ 是奇函数，因此在对称曲面上积分均为零。仅需计算 $\iint_{\sum} xy \, dS$。
步骤 2：转换到极坐标系
使用极坐标，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$z = r$，$dS = \sqrt{2} r \, dr \, d\theta$。
步骤 3：计算曲面积分
积分变为： \[ \iint_{\sum} xy \, dS = \sqrt{2} \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^3 \cos\theta \sin\theta \, dr \, d\theta = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{4} \int_0^{2\pi} \sin 2\theta \, d\theta = 0 \] （因 $\int_0^{2\pi} \sin 2\theta \, d\theta = 0$）