2.求极限 lim _(xarrow infty )[ (2+x)(e)^dfrac (1{x)}-x]

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是利用泰勒展开或等价无穷小替换处理指数函数在无穷远处的展开式。

解题核心思路：当$x \rightarrow \infty$时，$\dfrac{1}{x} \rightarrow 0$，此时$e^{\dfrac{1}{x}}$可以展开为$1 + \dfrac{1}{x} + \cdots$。通过展开并化简原式，消去高阶无穷小项，即可求得极限值。

破题关键点：

1. 识别展开形式：将$e^{\dfrac{1}{x}}$展开到一阶，忽略高阶小项。
2. 代数化简：展开后合并同类项，消去无穷大项，得到有限项的极限。

步骤1：展开指数函数
当$x \rightarrow \infty$时，$\dfrac{1}{x} \rightarrow 0$，利用泰勒展开：
$e^{\dfrac{1}{x}} = 1 + \dfrac{1}{x} + o\left(\dfrac{1}{x}\right).$

步骤2：代入原式并展开
将展开式代入原式：
$\begin{aligned}(2+x)e^{\dfrac{1}{x}} - x &= (2+x)\left(1 + \dfrac{1}{x}\right) - x \\&= (2+x) + \dfrac{2+x}{x} - x.\end{aligned}$

步骤3：化简表达式
逐项计算：

1. $(2+x)$ 保留；
2. $\dfrac{2+x}{x} = \dfrac{2}{x} + 1$；
3. $-x$ 保留。

合并后：
$(2+x) + \left(\dfrac{2}{x} + 1\right) - x = 3 + \dfrac{2}{x}.$

步骤4：取极限
当$x \rightarrow \infty$时，$\dfrac{2}{x} \rightarrow 0$，因此：
$\lim_{x \rightarrow \infty} \left(3 + \dfrac{2}{x}\right) = 3.$