[二十二]一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P,若第一次及格则第二次及格的概率也为P;若第一次不及格则第二次及格的概率为(1)若至少有一次及格则他能取得某种资格,求他取得该资格的概率。(2)若已知他第二次已经及格,求他第一次及格的概率。

步骤 1：定义事件
设 $A_1$ 表示第一次考试及格，$A_2$ 表示第二次考试及格。已知 $P(A_1) = P$，$P(A_2|A_1) = P$，$P(A_2|\overline{A_1}) = \frac{P}{2}$。
步骤 2：计算至少有一次及格的概率
至少有一次及格的概率为 $P(A_1 \cup A_2)$。根据概率的加法公式，有
$$
P(A_1 \cup A_2) = P(A_1) + P(A_2) - P(A_1 \cap A_2)
$$
其中，$P(A_2)$ 可以通过全概率公式计算：
$$
P(A_2) = P(A_1)P(A_2|A_1) + P(\overline{A_1})P(A_2|\overline{A_1})
$$
代入已知条件，得
$$
P(A_2) = P \cdot P + (1-P) \cdot \frac{P}{2} = \frac{P^2}{2} + \frac{P}{2}
$$
又因为 $P(A_1 \cap A_2) = P(A_1)P(A_2|A_1) = P^2$，所以
$$
P(A_1 \cup A_2) = P + \frac{P^2}{2} + \frac{P}{2} - P^2 = \frac{3}{2}P - \frac{1}{2}P^2
$$
步骤 3：计算第二次及格时第一次及格的概率
根据条件概率公式，有
$$
P(A_1|A_2) = \frac{P(A_1 \cap A_2)}{P(A_2)}
$$
代入已知条件，得
$$
P(A_1|A_2) = \frac{P^2}{\frac{P^2}{2} + \frac{P}{2}} = \frac{2P}{P+1}
$$