题目
lim _(xarrow 0)dfrac (x-sin x)(x+sin x).
.
题目解答
答案
对于极限，可知其为
型未定式，我们利用洛必达法则，可得到极限
.
故答案为：
解析
步骤 1：确定极限类型
观察极限$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x-\sin x}{x+\sin x}$，当$x\rightarrow 0$时，分子$x-\sin x$和分母$x+\sin x$都趋向于0，因此这是一个$\frac{0}{0}$型未定式。
步骤 2：应用洛必达法则
由于极限是$\frac{0}{0}$型未定式，我们可以应用洛必达法则，即对分子和分母分别求导，然后重新计算极限。分子的导数为$1-\cos x$，分母的导数为$1+\cos x$。因此，原极限变为$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1-\cos x}{1+\cos x}$。
步骤 3：计算新的极限
计算新的极限$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1-\cos x}{1+\cos x}$。当$x\rightarrow 0$时，$\cos x\rightarrow 1$，因此分子$1-\cos x\rightarrow 0$，分母$1+\cos x\rightarrow 2$。所以，新的极限值为$\frac{0}{2}=0$。
观察极限$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x-\sin x}{x+\sin x}$，当$x\rightarrow 0$时，分子$x-\sin x$和分母$x+\sin x$都趋向于0，因此这是一个$\frac{0}{0}$型未定式。
步骤 2：应用洛必达法则
由于极限是$\frac{0}{0}$型未定式，我们可以应用洛必达法则，即对分子和分母分别求导，然后重新计算极限。分子的导数为$1-\cos x$，分母的导数为$1+\cos x$。因此，原极限变为$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1-\cos x}{1+\cos x}$。
步骤 3：计算新的极限
计算新的极限$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {1-\cos x}{1+\cos x}$。当$x\rightarrow 0$时，$\cos x\rightarrow 1$，因此分子$1-\cos x\rightarrow 0$，分母$1+\cos x\rightarrow 2$。所以，新的极限值为$\frac{0}{2}=0$。