题目
求由曲线y=x^2与y=x所围成的平面图形的面积
求由曲线$$y=x^2$$与$$y=x$$所围成的平面图形的面积
题目解答
答案
由题意可知两个函数的围成的图像有两个焦点$$(0,0),(1,1)$$故$$S=\int_{0}^{1} {(x-x^2)}\,{\rm dx}$$$$=\frac{1}{2}x^2|^1_0 -\frac{1}{3}x^3|^1_0$$$$=(\frac{1}{2} -0)-(\frac{1}{3}-0 )$$$$=\frac{1}{6}$$
解析
步骤 1：确定交点
首先，我们需要找到曲线$$y=x^2$$与$$y=x$$的交点。为此，我们解方程$$x^2 = x$$，得到$$x(x-1) = 0$$，从而得到交点$$(0,0)$$和$$(1,1)$$。
步骤 2：确定积分区间
根据交点，我们知道积分区间为$$[0,1]$$。
步骤 3：计算面积
为了计算面积，我们需要计算函数$$y=x$$与$$y=x^2$$在区间$$[0,1]$$上的积分差。即$$S=\int_{0}^{1} {(x-x^2)}\,{\rm dx}$$。
步骤 4：计算积分
计算积分$$\int_{0}^{1} {(x-x^2)}\,{\rm dx}$$，得到$$\frac{1}{2}x^2|^1_0 -\frac{1}{3}x^3|^1_0$$。
步骤 5：计算结果
将积分结果代入，得到$$(\frac{1}{2} -0)-(\frac{1}{3}-0 )=\frac{1}{6}$$。
首先，我们需要找到曲线$$y=x^2$$与$$y=x$$的交点。为此，我们解方程$$x^2 = x$$，得到$$x(x-1) = 0$$，从而得到交点$$(0,0)$$和$$(1,1)$$。
步骤 2：确定积分区间
根据交点，我们知道积分区间为$$[0,1]$$。
步骤 3：计算面积
为了计算面积，我们需要计算函数$$y=x$$与$$y=x^2$$在区间$$[0,1]$$上的积分差。即$$S=\int_{0}^{1} {(x-x^2)}\,{\rm dx}$$。
步骤 4：计算积分
计算积分$$\int_{0}^{1} {(x-x^2)}\,{\rm dx}$$，得到$$\frac{1}{2}x^2|^1_0 -\frac{1}{3}x^3|^1_0$$。
步骤 5：计算结果
将积分结果代入，得到$$(\frac{1}{2} -0)-(\frac{1}{3}-0 )=\frac{1}{6}$$。