留数定理可以用来计算某些实变函数在无穷远处的积分值。A 对B 错

考查要点：本题主要考查对留数定理应用范围的理解，特别是其在计算实变函数无穷远处积分中的作用。

解题核心思路：
留数定理是复分析中的重要工具，通过计算复变函数沿闭合路径的积分，可以将某些实积分转化为复积分处理。关键在于理解如何利用围道积分和无穷远处的极限条件来求解实积分。

破题关键点：

1. 留数定理的本质：计算闭合路径内奇点的留数之和。
2. 实积分的转化：通过构造适当的围道（如上半平面或下半平面的大圆弧），结合无穷远处函数的衰减性质，将实积分转化为复积分。
3. 无穷远处的处理：若复变函数在无穷远处满足特定条件（如趋于零），则围道积分可简化为实积分的值。

留数定理的核心公式为：
$\oint_{C} f(z) \, dz = 2\pi i \sum \text{Res}(f, z_k)$
其中，$C$ 是包含奇点 $z_k$ 的闭合路径。

应用步骤：

1. 构造围道：例如，计算 $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{ix}}{x^2 + 1} dx$ 时，取上半平面的半圆形围道 $\Gamma = [-R, R] \cup C_R$（$C_R$ 为半圆弧）。
2. 计算围道积分：利用留数定理，计算围道内奇点（如 $z = i$）的留数之和。
3. 取极限 $R \to \infty$：若函数在无穷远处满足 $\lim_{R \to \infty} \int_{C_R} f(z) \, dz = 0$，则围道积分等于实积分的值。

结论：
留数定理确实能通过围道积分和无穷远处的极限条件，计算某些实变函数的无穷积分。因此，题目答案为正确。