题目

设数列x_{n)}由x_(1)in(-infty,+infty)和x_(n+1)=(1)/(3)x_(n)+(2)/(3)-(1)/(2)int_(1)^x_(n)e^-t^(2)dt(n=1,2,...)所确定，证明：极限lim_(ntoinfty)x_(n)存在并求此极限.

设数列$\{x_{n}\}$由$x_{1}\in(-\infty,+\infty)$和$x_{n+1}=\frac{1}{3}x_{n}+\frac{2}{3}-\frac{1}{2}\int_{1}^{x_{n}}e^{-t^{2}}dt(n=1,2,\cdots)$所确定， 证明：极限$\lim_{n\to\infty}x_{n}$存在并求此极限.

题目解答

答案

定义函数 $f(x) = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3} - \frac{1}{2} \int_1^x e^{-t^2} \, dt$，则数列满足 $x_{n+1} = f(x_n)$。求解不动点 $f(x) = x$，得： $$ \frac{1}{3}x + \frac{2}{3} - \frac{1}{2} \int_1^x e^{-t^2} \, dt = x \implies \int_1^x e^{-t^2} \, dt = \frac{4}{3}(1 - x). $$ 当 $x = 1$ 时，等式成立，故 $x = 1$ 是不动点。计算导数： $$ f'(x) = \frac{1}{3} - \frac{1}{2}e^{-x^2} \in \left[-\frac{1}{6}, \frac{1}{3}\right), $$ 满足 $|f'(x)| < 1$，表明 $f(x)$ 是压缩映射。由 Banach 不动点定理，数列收敛到不动点 $x = 1$。 **答案：** $\boxed{1}$

解析

考查要点：本题主要考查递推数列的收敛性及不动点定理的应用，涉及积分运算和导数分析。

解题核心思路：

  1. 构造函数：将递推关系转化为函数形式，找到数列迭代对应的函数$f(x)$。
  2. 寻找不动点：解方程$f(x) = x$，确定可能的极限值。
  3. 验证压缩映射条件：通过分析函数$f(x)$的导数，证明其满足压缩映射条件，从而应用Banach不动点定理保证收敛性。

破题关键点：

  • 积分与方程的转化：将递推式中的积分项与线性项结合，转化为关于$x$的方程。
  • 导数分析：通过计算$f'(x)$的范围，证明$|f'(x)| < 1$，确保迭代过程的收敛性。

步骤1：构造函数并寻找不动点
定义函数$f(x) = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3} - \frac{1}{2}\int_{1}^{x} e^{-t^2} dt$，数列满足$x_{n+1} = f(x_n)$。
求解不动点方程$f(x) = x$：
$\frac{1}{3}x + \frac{2}{3} - \frac{1}{2}\int_{1}^{x} e^{-t^2} dt = x \implies \int_{1}^{x} e^{-t^2} dt = \frac{4}{3}(1 - x).$
当$x = 1$时，积分上下限相同，结果为$0$，等式成立，故$x = 1$是唯一不动点。

步骤2：验证压缩映射条件
计算$f(x)$的导数：
$f'(x) = \frac{1}{3} - \frac{1}{2}e^{-x^2}.$
分析$e^{-x^2}$的取值范围：

  • 当$x = 0$时，$e^{-x^2} = 1$，此时$f'(0) = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{6}$；
  • 当$x \to \pm\infty$时，$e^{-x^2} \to 0$，此时$f'(x) \to \frac{1}{3}$。
    因此，$f'(x) \in \left[-\frac{1}{6}, \frac{1}{3}\right)$，满足$|f'(x)| < 1$，说明$f(x)$是压缩映射。

步骤3：应用Banach不动点定理
由于$f(x)$是压缩映射且存在不动点$x = 1$，根据定理，数列$\{x_n\}$必收敛于$x = 1$。